電場と電位 — クーロンの法則・電位・コンデンサー

$2.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ の正の点電荷が 2 つ、$0.30\mathrm{m}$ 離れて置かれている。電荷間にはたらく静電気力の大きさと向きを求めよ。クーロンの法則の比例定数を $k=9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ とする。

ある点に $2.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ の正の電荷を置いたところ、右向きに $6.0\times 10^{-3}\mathrm{N}$ の静電気力を受けた。(1) この点の電場の大きさと向きを求めよ。 (2) 同じ点に $-1.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ の負電荷を置くと、受ける力の大きさと向きはどうなるか。

$4.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ の正の点電荷から $0.60\mathrm{m}$ 離れた点の電場の大きさと向きを求めよ。$k=9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ とする。

電気力線について、次の各文の正誤を判定し、誤りは訂正せよ。(ア) 電気力線は負電荷から出て正電荷に入る。 (イ) 2 本の電気力線が交わることがある。 (ウ) 電気力線が密なところほど電場が強い。 (エ) 電気力線の接線の向きが、その点の電場の向きを表す。

間隔 $0.20\mathrm{m}$ の平行な 2 枚の金属板の間に、強さ $1.5\times 10^{3}V/m$ の一様な電場がある。2 枚の板の間の電位差を求めよ。

$2.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ の正の点電荷から $0.30\mathrm{m}$ 離れた点の電位を求めよ(無限遠を基準とする)。$k=9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ とする。

$4.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ の正電荷を、電位 $300\mathrm{V}$ の点から電位 $0\mathrm{V}$ の点まで動かした。この間に静電気力(電場)がした仕事を求めよ。

静止していた電子(電荷の大きさ $e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$、質量 $9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$)を、$100\mathrm{V}$ の電位差で加速した。(1) 電子が得る運動エネルギー (2) 加速後の速さ を求めよ。$\sqrt{35}=5.9$ とする。

電気容量 $2.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーを $100\mathrm{V}$ の電池で充電した。(1) 蓄えられる電気量を求めよ。 (2) 電気容量とは何を表す量か、「1 V あたり」という言葉を使って説明せよ。

面積 $1.0\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^2$ の金属板 2 枚を間隔 $1.0\times 10^{-3}\mathrm{m}$ で向かい合わせた平行板コンデンサーの電気容量を求めよ。真空の誘電率を ${\epsilon }_0=8.9\times 10^{-12}F/m$ とする。また、間隔を半分にすると容量はどうなるか。

電気容量 $2.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーを $100\mathrm{V}$ で充電した。蓄えられている静電エネルギーを、(1) $U=\frac{1}{2}C{V}^2$ で (2) $U=\frac{1}{2}QV$ で、それぞれ計算して一致を確かめよ。

帯電していない箔検電器の金属板に、負に帯電した棒を(触れずに)近づけると、箔が開いた。(1) このとき金属板と箔には、それぞれどんな符号の電荷が現れているか。 (2) この現象(静電誘導)を、金属中の自由電子の動きで説明せよ。

$x$ 軸上の原点に $Q_1=4.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$、$x=0.30\mathrm{m}$ の点に $Q_2=1.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ の正の点電荷を置いた。2 つの電荷の間で、電場が 0 になる点の位置を求めよ。

$+1.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ と $-1.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ の点電荷が $0.30\mathrm{m}$ 離れて置かれている。両電荷を結ぶ線分の中点での電場の大きさと向きを求めよ。$k=9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ とする。

前問と同じ配置($+1.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ と $-1.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$、間隔 $0.30\mathrm{m}$)で、中点の電位を求めよ。また「電場は 0 でないのに電位が 0」という状況の意味を、坂の絵で説明せよ。

質量 $3.0\times 10^{-4}\mathrm{kg}$、電荷 $2.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ の小球を、電位 $300\mathrm{V}$ の点に静かに置いたところ、電場から力を受けて動き出した。電位 $0\mathrm{V}$ の点を通過するときの速さを求めよ(重力は無視する)。

図は、ある電場の等電位線(5 V ごと)である。(1) 点 A(20 V)から点 B(5 V)まで $2.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ の正電荷を運ぶとき、電場がする仕事を求めよ。 (2) 電場の向きは等電位線とどんな関係にあるか。また A と B のどちらの付近が電場が強いか。

$C_1=2.0\mu \mathrm{F}$ と $C_2=3.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーを並列につなぎ、$100\mathrm{V}$ の電池に接続した。(1) 合成容量 (2) それぞれに蓄えられる電気量 を求めよ。

$C_1=2.0\mu \mathrm{F}$ と $C_2=3.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーを直列につなぎ、$100\mathrm{V}$ の電池に接続した(はじめ電荷はない)。(1) 合成容量 (2) 各コンデンサーの電気量と電圧 を求めよ。

電気容量 $2.0\mu \mathrm{F}$ の平行板コンデンサーを $100\mathrm{V}$ の電池につないだまま、極板間を比誘電率 ${\epsilon }_r=2.0$ の誘電体で満たした。(1) 電気容量 (2) 電気量 (3) 静電エネルギー は、それぞれ元の何倍になるか。

電気容量 $2.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーを $100\mathrm{V}$ で充電した後、電池から切り離して極板の間隔を 2 倍に広げた。(1) 電気量 (2) 電気容量 (3) 極板間の電圧 (4) 静電エネルギー はそれぞれどうなるか。

前問と同じコンデンサー($2.0\mu \mathrm{F}$、$100\mathrm{V}$)を、今度は電池につないだまま極板の間隔を 2 倍に広げた。(1) 電圧 (2) 電気容量 (3) 電気量 (4) 静電エネルギー はそれぞれどうなるか。前問と比べて何が逆になるか。

起電力 $100\mathrm{V}$ の電池で、$2.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサー(はじめ電荷 0)を抵抗を通して充電した。(1) 電池がした仕事 (2) コンデンサーに蓄えられたエネルギー (3) 抵抗で発生した熱 を求めよ。

図は、一様な電場の中の電位 $V$ を位置 $x$ の関数として表したグラフで、$x=0$ で $300\mathrm{V}$、$x=0.20\mathrm{m}$ で $0\mathrm{V}$ の直線である。(1) 電場の強さを求めよ。 (2) 電場の向きは $+x$ 向きか $-x$ 向きか。

1 辺 $0.30\mathrm{m}$ の正三角形の 2 つの頂点に、$+1.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ の点電荷が 1 つずつ置かれている。残りの頂点 P での合成電場の大きさと向きを求めよ。$k=9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$、$\sqrt{3}=1.7$ とする。

$+1.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ の点電荷が固定されている。質量 $2.0\times 10^{-3}\mathrm{kg}$、電荷 $+1.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ の小球を、十分遠方から速さ $3.0m/s$ で固定電荷に向けて打ち出した。小球が固定電荷に最も近づいたときの距離を求めよ。$k=9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ とする。

強さ $1.0\times 10^{3}N/C$ の一様な下向きの電場の中に、質量 $4.0\times 10^{-4}\mathrm{kg}$、電荷 $+2.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ の小球を、水平に速さ $3.0m/s$ で打ち出した(重力は無視する)。(1) 小球の加速度 (2) 水平距離 $0.60\mathrm{m}$ 進む間の時間と、その間の落下量 (3) そのときの速度の鉛直成分 を求めよ。

$2.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーを $100\mathrm{V}$ で充電し、電池から切り離してから、極板の間隔をゆっくり 2 倍に広げた。(1) 広げる前と後の静電エネルギー (2) この操作で外力がした仕事 を求めよ。また、この仕事が何に使われたかを述べよ。

$C_1=2.0\mu \mathrm{F}$ に、$C_2=3.0\mu \mathrm{F}$ と $C_3=3.0\mu \mathrm{F}$ の並列部分を直列につなぎ、全体を $100\mathrm{V}$ の電池に接続した。(1) 全体の合成容量 (2) $C_1$ の電気量と電圧 (3) $C_2$ の電気量 を求めよ。

$C_1=2.0\mu \mathrm{F}$ を $100\mathrm{V}$ で充電し、電池から切り離した。これを、充電されていない $C_2=3.0\mu \mathrm{F}$ に並列に接続した。(1) 接続後の共通の電圧 (2) 各コンデンサーの電気量 (3) 接続の前後で失われた静電エネルギー を求めよ。

極板間隔 $3.0\mathrm{mm}$、電気容量 $2.0\mu \mathrm{F}$ の平行板コンデンサーの極板間に、厚さ $1.0\mathrm{mm}$ の帯電していない金属板を極板と平行に挿入した。挿入後の電気容量を求めよ(金属板の位置はどこでもよいことも示せ)。

静止した電子(電荷 $e$、質量 $m$)を電位差 $V_0=100\mathrm{V}$ で加速し、速さ $v$ にする。次にこの電子を、間隔 $d=2.0\times 10^{-2}\mathrm{m}$、電圧 $V_1=20\mathrm{V}$、長さ $L=0.10\mathrm{m}$ の平行板の間に、板と平行に入射させて偏向させる。(1) 加速後の速さ $v$ を $e,m,V_0$ で表せ。 (2) 平行板を出るときの進行方向のずれの角 $\theta$ について、$\tan \theta$ を $V_0,V_1,L,d$ で表し、$e,m$ によらないことを示せ。 (3) $\tan \theta$ の値を求めよ。

半径 $R_1=0.10\mathrm{m}$ の導体球 A と、半径 $R_2=0.30\mathrm{m}$ の導体球 B が、たがいに十分離して置かれている。はじめ A には $Q=4.0\times 10^{-8}\mathrm{C}$ の電荷があり、B は帯電していない。

この 2 つを細い導線でつなぐ。導線の電気容量と、2 つの球がたがいに及ぼす影響は無視してよい。半径 $R$ の導体球に電荷 $q$ があるとき、球の外側の電場と電位は、中心に点電荷 $q$ があるときと同じであるとしてよい。クーロンの法則の比例定数を $k=9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ とする。

(1) つなぐ前の A の電位を求めよ。

(2) つないだあと、A と B の電荷はそれぞれいくらになるか。

(3) つないだあとの共通の電位と、A・B それぞれの表面の電場の強さを求めよ。

(4) つなぐ前後で静電エネルギーはどれだけ変わるか。その差はどこへ行ったか。

面積 $S=0.10{\mathrm{m}}^2$ の 2 枚の金属板を、間隔 $d=2.0\times 10^{-3}\mathrm{m}$ で平行に向かい合わせた平行板コンデンサーがある。電池をつないで $V=2.0\times 10^3\mathrm{V}$ で充電したあと、電池を切りはなす。真空の誘電率を ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$ とし、極板の端の効果は無視する。

(1) 極板間の電場の強さと、蓄えられた電荷を求めよ。

(2) 一方の極板だけがつくる電場の強さを求めよ。極板の外側で電場が $0$ になることを使って説明せよ。

(3) 一方の極板が受ける力の大きさを求めよ。これが $QE$ ではなく $\frac{1}{2}QE$ になる理由を述べよ。

(4) 電荷を保ったまま極板の間隔をわずかに広げるとき、静電エネルギーの増え方から力を求め、(3) と一致することを確かめよ。

半径 $R_1=0.10\mathrm{m}$ の導体球を、半径 $R_2=0.15\mathrm{m}$ の薄い導体球殻で同心に包む。内側の球に電荷 $+Q$ を与え、外側の球殻には $-Q$ を与える。

球殻の間の電場は、中心に点電荷 $+Q$ があるときと同じであるとしてよい。したがって中心から距離 $r$($R_1\le r\le R_2$)の点の電位は $\frac{kQ}{r}$ に等しい。$k=9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ とする。

(1) 内側の球と外側の球殻の電位差を、$k,Q,R_1,R_2$ で表せ。

(2) この装置の電気容量を求め、数値を pF 単位で答えよ。

(3) 外側の球殻を無限に大きくすると、孤立した導体球の電気容量が得られる。その式と、$R_1=0.10\mathrm{m}$ のときの値を求めよ。

(4) 地球を半径 $6.4\times 10^6\mathrm{m}$ の導体球とみなしたときの電気容量を求めよ。

図のように 5 個のコンデンサーをつなぎ、$V_0=12\mathrm{V}$ の電池を接続した。容量は $C_1=1.0\mu \mathrm{F}$、$C_2=2.0\mu \mathrm{F}$、$C_3=2.0\mu \mathrm{F}$、$C_4=1.0\mu \mathrm{F}$、橋にあたる $C_5=1.0\mu \mathrm{F}$ である。

はじめすべてのコンデンサーは充電されていない。電池の負極側の電位を $0$ とする。

(1) 橋のコンデンサー $C_5$ に電荷が流れこまないための条件を、$C_1\sim C_4$ で表せ。

(2) この回路はその条件を満たしているか。

(3) 節点 P と Q の電位を求めよ。

(4) $C_5$ に蓄えられる電荷と、回路全体の合成容量を求めよ。

半径 $R=0.20\mathrm{m}$ の球の内部に、電荷 $Q=+3.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ が一様に分布して固定されている。

この球の中心を通るまっすぐな細いトンネルを開ける。球の内部で中心から距離 $r$ の点の電場の強さは

$$E=\frac{kQr}{R^3}$$

で与えられる(向きは中心から外向き)。$k=9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ とする。

いま、質量 $m=1.0\times 10^{-6}\mathrm{kg}$、電荷 $-q=-3.0\times 10^{-9}\mathrm{C}$ の小球を、トンネルの入口(球の表面)に静かに置く。重力と摩擦、空気の抵抗は無視する。

(1) 球の表面($r=R$)でこの式が $\frac{kQ}{R^2}$ に一致することを確かめよ。また中心から $\frac{R}{2}$ の点の電場の強さを求めよ。

(2) トンネル内で小球にはたらく力を求め、この運動が単振動になることを示せ。

(3) 単振動の周期を、$k,Q,q,m,R$ で表せ。

(4) 周期の値を求めよ。また小球が中心を通過するときの速さを求めよ。

面積 $S=0.010{\mathrm{m}}^2$ の 2 枚の極板を間隔 $2.0\times 10^{-3}\mathrm{m}$ で向かい合わせ、その間を厚さ $1.0\times 10^{-3}\mathrm{m}$ ずつの 2 層で満たす。下の層は比誘電率 ${\epsilon }_{\mathrm{r}}=4.0$ の誘電体、上の層は空気(比誘電率 $1.0$)である。

真空の誘電率を ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$ とし、空気の絶縁破壊の電場を $3.0\times 10^{6}V/m$、誘電体の絶縁破壊の電場を $1.0\times 10^{7}V/m$ とする。

(1) この装置の電気容量を求めよ。

(2) 極板間に $1000\mathrm{V}$ をかけたとき、各層にかかる電圧を求めよ。

(3) 各層の電場の強さを求め、その比が何で決まるかを述べよ。

(4) 電圧を上げていくと、どちらの層が先に絶縁破壊するか。またそのときの極板間の電圧を求めよ。

$x$ 軸上の原点に $+Q$、$x=L=0.30\mathrm{m}$ に $+4Q$ の点電荷を固定する。$Q=1.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$、$k=9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ とする。

(1) 2 つの電荷の間で、電場が $0$ になる点の位置を求めよ。

(2) その点に負の点電荷 $-q$ を置くと、静止したままでいられる。その理由を述べよ。

(3) $-q$ を $x$ 軸に沿ってわずかにずらしたとき、はたらく力はもとの位置にもどす向きか、離れる向きか。理由とともに答えよ。

(4) こんどは $x$ 軸に垂直な向きにわずかにずらしたとき、力はどちら向きか。(3) と合わせて、この点が安定なつり合いといえるかどうかを述べよ。

1 辺 $a=0.30\mathrm{m}$ の正三角形の 3 つの頂点に、$q=2.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ の点電荷を 1 個ずつ置きたい。3 個とも、はじめは無限に遠いところにあり、静止しているものとする。

電荷を 1 個ずつゆっくり運んで所定の位置に固定していく。$k=9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ とする。

(1) 1 個目、2 個目、3 個目を運ぶのに外から加える仕事を、それぞれ求めよ。

(2) 3 個を配置し終えるまでの仕事の合計を求めよ。

(3) 運ぶ順番を変えても合計は変わらない。その理由を述べよ。

(4) 3 個の固定をいっせいに外すと、電荷はたがいに反発して飛び去る。3 個とも質量が $m=1.0\times 10^{-6}\mathrm{kg}$ のとき、十分に離れたあとの速さを求めよ。