物理 / 電場と電位

極板を引き離す仕事

★★★ 応用コンデンサーエネルギー

問題

$2.0 μ F$ のコンデンサーを $100 V$ で充電し、電池から切り離してから、極板の間隔をゆっくり 2 倍に広げた。(1) 広げる前と後の静電エネルギー (2) この操作で外力がした仕事を求めよ。また、この仕事が何に使われたかを述べよ。

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電池を切っているので出入りするエネルギーは外力の仕事だけ。エネルギー保存を「後−前=外力の仕事」の形で書けば、(2) は引き算 1 回。仕事の行き先も、この式が答えている。

解答・解説

方針

Q 固定で U=Q²/2C。C 半分→U 2 倍。増加分=外力の仕事(エネルギー保存、ゆっくり=運動エネルギーなし)。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 切り離し=Q 固定、そして「ゆっくり」=運動エネルギーなし。エネルギーの出入り口は外力の仕事だけだから、収支は $W_{外} = U_{2} - U_{1}$ の 1 本で締まる。

① 前後のエネルギー。 $Q = 2.0 \times 1 0^{- 4} C$ 固定、 $C$ は半分( $1.0 μ F$ )になる:

$U_{1} = \frac{Q ^{2}}{2 C} = \frac{( 2.0 \times 1 0 ^{- 4} ) ^{2}}{2 \times 2.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 1.0 \times 1 0^{- 2} J$

$U_{2} = \frac{Q ^{2}}{2 \times 1.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 2.0 \times 1 0^{- 2} J$

② 外力の仕事。

$W_{外} = U_{2} - U_{1} = 1.0 \times 1 0^{- 2} J$

行き先: 異符号に帯電した極板は引き合っている。その引力に逆らって極板を運んだ仕事が、そっくり静電エネルギーの増加として蓄えられた(ばねを伸ばす仕事が弾性エネルギーになるのと同型)。

まとめ 逆に極板を近づければ、コンデンサーは仕事をしてエネルギーを放出する——極板間引力は「電気のばね」のように振る舞う。検算として、極板間の引力は $F = \frac{Q ^{2}}{2 ε _{0} S}$ (一定)で、 $W = F d$ を計算しても同じ値になる(発展)——引力が間隔によらず一定(Q 固定なら E 一定だから)という事実も、この問題の隠れた学びである。

答

(1) $U_{1} = \frac{Q ^{2}}{2 C} = 1.0 \times 1 0^{- 2} J$ 、 $U_{2} = \frac{Q ^{2}}{2 ( C /2 )} = 2.0 \times 1 0^{- 2} J$ (2) $W = U_{2} - U_{1} = 1.0 \times 1 0^{- 2} J$ 。異符号の極板間の引力に逆らって運ぶ仕事が、そっくり静電エネルギーの増加になった

別解

F=QE/2 の「半分」の妙(発展)。 極板が受ける力は $F = QE$ ではなく $F = Q \times \frac{E}{2}$ ——自分自身が作った電場では引かれず、相手の極板が作る電場( $\frac{E}{2}$ )だけが引く。 $W = F d = \frac{QE}{2} \times d = \frac{Q}{2} \times E d = \frac{Q V _{増}}{2}$ ——増えたエネルギーとぴったり一致する。

「 $\frac{E}{2}$ の力」は難関大の頻出テーマ——ここで仕組みごと出会っておくと強い。

ポイント

収支は W外=U後−U前の 1 本
引き離す仕事が蓄えられる
極板引力は一定(Q 固定で E 一定)

よくある間違い

U が減ると考える
電池のエネルギーを混ぜる(切り離し済み)
W=Fd の F を QE とする