物理 / 電場と電位

等電位線の読み取り

★★ 標準等電位面電位

問題

図は、ある電場の等電位線(5 V ごと)である。(1) 点 A(20 V)から点 B(5 V)まで $2.0 \times 1 0^{- 6} C$ の正電荷を運ぶとき、電場がする仕事を求めよ。 (2) 電場の向きは等電位線とどんな関係にあるか。また A と B のどちらの付近が電場が強いか。

等電位線(5 V ごと)。A 付近は密、B 付近は疎

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等高線の地図とまったく同じ読み方ができる——線に沿って歩けば高さは変わらない(仕事 0)、線を横切る向きが最も急。線が混んでいる場所はどんな場所か。

解答・解説

仕事は電位差だけ(経路無関係)。等電位線⊥電場。間隔が狭い=坂が急=強い電場。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 等電位線は電気の等高線である。地図の読み方——「線沿いは平ら、線を垂直に横切る向きが最急、混んでいれば急坂」——がそのまま使える。

① 仕事。 経路によらず電位差だけで

$W = q (V_{A} - V_{B}) = 2.0 \times 1 0^{- 6} \times (20 - 5) = 3.0 \times 1 0^{- 5} J$

② 電場と等電位線の関係。

まとめ 「垂直・高→低・密=強」の 3 点で等電位図は読み切れる。等電位線に沿った移動は仕事 0——これが「等電位」の定義そのものである。力線と等電位線が直交格子を作る図は、電場の完全な地図——どちらか一方から他方が描ける関係にある。

答

(1) $W = q (V_{A} - V_{B}) = 2.0 \times 1 0^{- 6} \times 15 = 3.0 \times 1 0^{- 5} J$ (2) 電場は等電位線に垂直で、電位の高い方から低い方へ向かう。等電位線の間隔が狭い A 付近の方が電場が強い

「垂直」の理由を背理法で言うルート。 もし電場が等電位線に斜めなら、線に沿う成分が残る。すると線に沿って電荷を動かすとき電場が仕事をする——しかし等電位だから仕事は 0 のはず。矛盾。ゆえに垂直——数式なしの 3 行論証で、論述問題にそのまま使える。

地図で「等高線と最大傾斜線(水の流れ)が直交する」ことと同じ論理である。