物理 / 電場と電位

点電荷のまわりの電位

★ 基礎電位点電荷

問題

$2.0 \times 1 0^{- 6} C$ の正の点電荷から $0.30 m$ 離れた点の電位を求めよ(無限遠を基準とする)。 $k = 9.0 \times 1 0^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}$ とする。

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電場の式と形が似ているが、分母の r の次数が違う——電位は「1 C を無限遠からそこまで運ぶ仕事」で、力を距離で積み上げた量だから 1 乗になる。符号は Q の符号がそのまま出る。

解答・解説

方針

点電荷の電位 V=kQ/r。電場の r² と違い r の 1 乗。スカラーなので向きはない。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 電位は「1 C をそこへ(無限遠から)運ぶ仕事」——高さの電気版である。点電荷のまわりでは次の形になる。

公式点電荷の電位:

V = k \frac{Q}{r}

(無限遠基準。

r

の 1 乗、スカラー)

① 代入する。

$V = \frac{9.0 \times 1 0 ^{9} \times 2.0 \times 1 0 ^{- 6}}{0.30} = 6.0 \times 1 0^{4} V$

まとめ 電場( $\frac{k Q}{r ^{2}}$ 、ベクトル)と電位( $\frac{k Q}{r}$ 、スカラー)——分母の次数と、向きの有無が 2 大区別である。電位は「電気の標高」なので足し算が単純(向きを気にしない)——複数電荷の合成は電位の方が圧倒的に楽、という戦略眼につながる(標準で活躍する)。負電荷なら $V < 0$ ——「海面下の標高」も自然に扱える。

答

$V = k \frac{Q}{r} = \frac{9.0 \times 1 0 ^{9} \times 2.0 \times 1 0 ^{- 6}}{0.30} = 6.0 \times 1 0^{4} V$

別解

なぜ r の 1 乗かを積分の絵で見るルート(発展)。 電位は力( $\propto \frac{1}{r ^{2}}$ )を無限遠から $r$ まで積み上げた(積分した)量である。 $\frac{1}{r ^{2}}$ を距離でならすと $\frac{1}{r}$ になる—— $x^{n}$ の積分で次数が 1 つ上がるのと同じ理屈である。

「電場は傾き、電位はその積み上げ」——微分と積分の関係が、 $r^{2}$ と $r$ の次数の違いの正体である。

ポイント

V=kQ/r(1 乗・スカラー)
電位=電気の標高
負電荷なら V<0

よくある間違い

r² で割る(電場との混同)
電位に向きを付ける
負電荷の電位の符号を落とす