物理 / 電場と電位

電子の加速(eV とエネルギー)

★ 基礎電位エネルギー保存電子

問題

静止していた電子(電荷の大きさ $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ 、質量 $9.1 \times 1 0^{- 31} kg$ )を、 $100 V$ の電位差で加速した。(1) 電子が得る運動エネルギー (2) 加速後の速さを求めよ。 $35 = 5.9$ とする。

ヒントを見る

電子は負電荷だが、「電位差 V で加速される」と言われたら得るエネルギーは大きさで eV。あとは ½mv²=eV を v について解く。指数の処理を丁寧に。

解答・解説

方針

K=eV。v=√(2K/m)=√(3.2×10⁻¹⁷/9.1×10⁻³¹)≈√(3.5×10¹³)=5.9×10⁶ m/s。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 加速の計算はエネルギー保存 1 本である: 電場がした仕事 $e V$ が全部運動エネルギーになる。電子は負電荷なので「低電位→高電位」へ引かれて加速する。向きは気にせず、「大きさ $e V$ をもらう」と考えればよい。

① 運動エネルギー。

$K = e V = 1.6 \times 1 0^{- 19} \times 100 = 1.6 \times 1 0^{- 17} J$

② 速さ。 $\frac{1}{2} m v^{2} = e V$ より

$v = \frac{2 e V}{m} = \frac{3.2 \times 1 0 ^{- 17}}{9.1 \times 1 0 ^{- 31}} = 3.5 \times 1 0^{13} = 5.9 \times 1 0^{6} m/s$

まとめ100 V だけで光速の 2 % になる。電子が軽い( $1 0^{- 30} kg$ 級)ので、大きく加速される。「電位差 $V$ で得るエネルギー $e V$ 」はそのままエネルギーの単位電子ボルト(eV) の由来で、原子分野( $1 eV = 1.6 \times 1 0^{- 19} J$ )ではこの単位を共通に使う。ここで慣れておくと後がずっと楽になる。

答

(1) $K = e V = 1.6 \times 1 0^{- 19} \times 100 = 1.6 \times 1 0^{- 17} J$ (2) $v = \frac{2 e V}{m} = 5.9 \times 1 0^{6} m/s$

別解

電子ボルトの言葉で先取りするルート。 この電子のエネルギーは定義により「 $100 eV$ 」で、換算なしでそう呼べる。X 線管は数万 V(数十 keV)、加速器は GeV である。「何ボルトで加速したか」がそのままエネルギーの呼び名になるので、この単位が使われる。

J に直すのは、速さなど力学量が要るときだけでよい。2 つの単位をこのように使い分ける。

ポイント

½mv²=eV(エネルギー保存)
100 V で光速の 2 %
eV=原子分野でよく使う単位

よくある間違い

2 を掛け忘れて √(eV/m) とする
指数の割り算(10⁻¹⁷/10⁻³¹)のミス
電子の電荷の符号で混乱する(大きさで処理)