電場が 0 の点に置いた電荷は安定か

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「電場が $0$ の点に置けば動かない」——これは正しい。しかし「動かない」と「安定」は別のことである。

鉛筆を立てたときも、力はつり合っている。しかし少し傾けば倒れる。つり合っているだけでは安定とは限らない。

だから調べるべきは、つり合いの点から少しずらしたときに、力が「もどす向き」か「離れる向き」かである。しかも方向によって答えが違いうるので、軸方向と垂直方向を分けて見る。

① 電場が $0$ になる点。 2 つの電荷はどちらも正なので、電場が打ち消し合うのは 2 つの間である。原点からの距離を $x$ とすると

$$\frac{kQ}{x^2}=\frac{k\cdot 4Q}{(L-x{)}^2}$$

両辺の平方根をとる(距離は正)。

$$\frac{L-x}{x}=2⟹x=\frac{L}{3}=0.10\mathrm{m}$$

② 静止する理由。 その点では電場が $0$ だから、置いた電荷が受ける力は $qE=0$ である。正でも負でも、力を受けないので静止したままでいられる。

③ 軸方向にずらす。 $-q$ を右へ少しずらす。すると $+4Q$ に近づき、$+Q$ から遠ざかる。

電場は距離の $2$ 乗に反比例するので、近づいた $+4Q$ からの電場が強くなり、遠ざかった $+Q$ からの電場は弱くなる。合成の電場は $+4Q$ から $+Q$ へ向かう向き、つまり左向きになる。

負電荷が受ける力は電場と逆向きだから、右向きである。ずらした向きにさらに押される。

同じことは左へずらしても起こる。したがって軸方向には不安定である。

④ 垂直方向にずらす。 こんどは $-q$ を軸から少し上へずらす。

$+Q$ がつくる電場は「$+Q$ から遠ざかる向き」なので、少し上向きの成分をもつ。$+4Q$ がつくる電場も同じく上向きの成分をもつ。どちらの寄与も上向き成分をもつので、合成の電場は上を向く。

負電荷が受ける力はその逆で、下向き、つまり軸へもどす向きである。垂直方向には安定である。

まとめると、垂直方向には安定だが軸方向には不安定である。ある向きにでも不安定なら、そのつり合いは安定とはいえない。実際には、ほんのわずかなずれで $-q$ はどちらかの電荷に落ちこんでいく。

まとめ 電場が $0$ でも安定とは限らない。安定かどうかは「ずらしたときの力の向き」で判定し、しかもすべての向きについて調べる必要がある。

発展 — 一歩先へ。 実は、点電荷をいくつ固定してどう配置しても、静電気の力だけで荷電粒子を安定に閉じこめることはできない。これをアーンショーの定理という。

理由は、電場のもつ性質にある。ある向きに「もどす」ようにできると、必ず別の向きが「離れる」ようになってしまう。今回の問題は、その最も簡単な例である。

だから荷電粒子を閉じこめるには、静電場だけでは足りない。磁場を使う(サイクロトロンやイオントラップ)、時間とともに向きが変わる電場を使う(四重極イオントラップ)、といった工夫が必要になる。

別解

電位の地形で見るルート。 力の向きを 1 つずつ調べるかわりに、電位を「地形の高さ」と考えると全体像がつかめる。

正電荷が負電荷を引きつける状況では、負電荷は電位の高いほうへ向かう。そこで電位の山と谷を考える。

$x$ 軸上では、$+Q$ と $+4Q$ の両方に近づくほど電位が高い。だから電場が $0$ になる点は、軸上では電位が最も低い点(谷底)になっている。負電荷にとっては「山の頂上」に相当し、ずれれば転がり落ちる。

一方、軸から垂直に離れると、どちらの電荷からも遠ざかるので電位は下がる。垂直方向では、この点は電位の峰にあたる。負電荷にとっては谷底で、もどってくる。

つまりこの点は、ある向きには谷、別の向きには峰という「峠(鞍点)」になっている。峠にボールを置くと、峠道の方向には転がり落ちる。

電位の地形図としてとらえると、「静電場のつり合いはいつも峠であって、盆地にはならない」というアーンショーの定理の意味が直感的に分かる。