極板どうしが引き合う力はなぜ QE/2 か

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「電荷 $Q$ が電場 $E$ の中にあるから力は $QE$」としたくなるが、これは誤りである。

$E$ は 2 枚の極板が協力してつくった電場である。しかし自分自身がつくる電場では、自分は押されない。だから 1 枚の極板が受ける力を出すには、相手がつくる分だけを取り出す必要がある。

対称性から、その分はちょうど半分になる。ここが $\frac{1}{2}$ の出どころである。

① 電場と電荷。

$$E=\frac{V}{d}=\frac{2.0\times 10^3}{2.0\times 10^{-3}}=1.0\times 10^{6}V/m$$

$$C=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d}=\frac{8.85\times 10^{-12}\times 0.10}{2.0\times 10^{-3}}=4.4\times 10^{-10}\mathrm{F}$$

$$Q=CV=4.4\times 10^{-10}\times 2.0\times 10^3\approx 8.9\times 10^{-7}\mathrm{C}$$

② 1 枚の極板がつくる電場。 正に帯電した極板は、その両側に自分から遠ざかる向きの電場をつくる。強さを $e$ とする。負の極板も同じ強さ $e$ の電場を、自分に向かう向きにつくる。

極板の外側では、この 2 つは逆向きになって打ち消し合う。実際、外側の電場は $0$ である。

内側では 2 つが同じ向きになって足し合わされ、$2e=E$ となる。したがって

$$e=\frac{E}{2}=5.0\times 10^{5}V/m$$

③ 極板が受ける力。

$$F=Q\cdot \frac{E}{2}=\frac{1}{2}\times 8.85\times 10^{-7}\times 1.0\times 10^6\approx 0.44\mathrm{N}$$

${\epsilon }_0$ で書き直すと、$Q={\epsilon }_{0}ES$ だから

$$F=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^{2}S=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{0}S}$$

$QE$ としてしまうと 2 倍の誤りになる。

④ エネルギーからの確認。 電荷 $Q$ を保ったまま間隔を $d$ から $d+\Delta d$ に広げる。静電エネルギーは

$$U=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^{2}d}{2{\epsilon }_{0}S}$$

だから、間隔を $\Delta d$ 広げると

$$\Delta U=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{0}S}\Delta d$$

だけ増える。この増加分は、引き合う力に逆らって外から加えた仕事に等しい。

$$F\Delta d=\Delta U⟹F=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{0}S}$$

③ と一致する。まったく違う考え方から同じ式が出るので、$\frac{1}{2}$ が正しいことが確かめられた。

まとめ 電場の重ね合わせを 1 枚ずつに分けて考えると $\frac{1}{2}$ の意味が見える。エネルギーの増え方から力を求める「仮想仕事」の方法は、力が直接見えにくい場面で強力な検算になる。

発展 — 一歩先へ。 ③ の $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ は、単位面積あたりの力(圧力)である。そしてこの量は、コンデンサーに蓄えられたエネルギーの密度 $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ と同じ形をしている。

これは偶然ではない。電場そのものがエネルギーをもち、同時に面を引っぱる力をもつ、と考えられる。電場を「空間に張られたゴムひも」に見立てる見方(マクスウェルの応力)につながる。

別解

電気力線の張力として見るルート。 電気力線は、その向きに縮もうとし、横向きには押し合う、という性質をもつと考えることができる。

このとき、電気力線に垂直な面 $1{\mathrm{m}}^2$ あたりにはたらく引っぱりの強さは $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ である。

極板の面積は $S$ だから

$$F=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^{2}S=\frac{1}{2}\times 8.85\times 10^{-12}\times (1.0\times 10^6{)}^2\times 0.10\approx 0.44\mathrm{N}$$

同じ答えが 1 行で出る。

この見方の利点は、極板の形が平らでなくても使えることである。曲がった導体でも、表面の電場さえ分かれば、単位面積あたり $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ の引っぱりを受けると考えて力が計算できる。

しゃぼん玉のように帯電した膜がふくらもうとするのも、この面に垂直な引っぱりで説明できる。