充電済みコンデンサーの並列接続(電荷の再分配)

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 電池のいない接続問題で頼りになるのは電荷保存である(エネルギーは頼れない。実際、保存しない)。つながった極板の組ごとに電荷の合計を追う。

① 共通電圧。 総電荷 $Q=C_1\times 100=2.0\times 10^{-4}\mathrm{C}$ が、並列(電圧共通)の $C_1+C_2=5.0\mu \mathrm{F}$ に分配される:

$$V=\frac{Q}{C_1+C_2}=\frac{2.0\times 10^{-4}}{5.0\times 10^{-6}}=40\mathrm{V}$$

② 各電気量。

$$Q_1=C_{1}V=8.0\times 10^{-5}\mathrm{C},Q_2=C_{2}V=1.2\times 10^{-4}\mathrm{C}(和はQ)$$

③ 失われたエネルギー。

$$U_{前}=\frac{1}{2}\times 2.0\times 10^{-6}\times 100^2=1.0\times 10^{-2}\mathrm{J}$$

$$U_{後}=\frac{1}{2}\times 5.0\times 10^{-6}\times 40^2=4.0\times 10^{-3}\mathrm{J}$$

$$\Delta U=6.0\times 10^{-3}\mathrm{J}(熱・電磁波として散逸)$$

まとめ 「電荷は保存、エネルギーは目減り」と覚える。接続の瞬間に流れた電流が、導線のわずかな抵抗で熱を出すからだ。失われる割合は抵抗の値によらず、回路の容量比だけで決まる($\frac{C_2}{C_1+C_2}=60\%$)。水槽の水を高い槽から低い槽へつなげると、水位が均されて位置エネルギーが減る。これはその電気版である。

別解

水槽モデルで数値ごと再現するルート。 底面積 2 の水槽に高さ 100 の水(量 200)。底面積 3 の空水槽とつなぐと、水位は $\frac{200}{5}=40$ に均される。電圧 40 V と同じ計算である。位置エネルギー(∝ 底面積×水位²/2)は $\frac{2\times 100^2}{2}=10^4$ から $\frac{5\times 40^2}{2}=4\times 10^3$ へ減り、60 % 減も一致する。

減った分は水面の波立ち(=電流の熱)として消える。モデルはエネルギーの行き先まで正しく表している。