充電済みコンデンサーの並列接続(電荷の再分配)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 電池のいない接続問題の背骨は電荷保存である(エネルギーは頼れない——実際、保存しない)。つながった極板の組ごとに電荷の合計を追う。

① 共通電圧。 総電荷 $Q=C_1\times 100=2.0\times 10^{-4}\mathrm{C}$ が、並列(電圧共通)の $C_1+C_2=5.0\mu \mathrm{F}$ に分配される:

$$V=\frac{Q}{C_1+C_2}=\frac{2.0\times 10^{-4}}{5.0\times 10^{-6}}=40\mathrm{V}$$

② 各電気量。

$$Q_1=C_{1}V=8.0\times 10^{-5}\mathrm{C},Q_2=C_{2}V=1.2\times 10^{-4}\mathrm{C}(和はQ✓)$$

③ 失われたエネルギー。

$$U_{前}=\frac{1}{2}\times 2.0\times 10^{-6}\times 100^2=1.0\times 10^{-2}\mathrm{J}$$

$$U_{後}=\frac{1}{2}\times 5.0\times 10^{-6}\times 40^2=4.0\times 10^{-3}\mathrm{J}$$

$$\Delta U=6.0\times 10^{-3}\mathrm{J}(熱・電磁波として散逸)$$

まとめ 「電荷は保存、エネルギーは目減り」——接続の瞬間に流れた電流が導線のわずかな抵抗で熱を出す。驚くべきことに、失われる割合は抵抗の値によらず回路の容量比だけで決まる($\frac{C_2}{C_1+C_2}=60\%$)。水槽の水を高い槽から低い槽へつなげると水位が均されて位置エネルギーが減る——あの絵の電気版である。

別解

水槽モデルで数値ごと再現するルート。 底面積 2 の水槽に高さ 100 の水(量 200)。底面積 3 の空水槽とつなぐと、水位は $\frac{200}{5}=40$ に均される——電圧 40 V と同じ計算である。位置エネルギー(∝ 底面積×水位²/2)は $\frac{2\times 100^2}{2}=10^4$ から $\frac{5\times 40^2}{2}=4\times 10^3$ へ——60 % 減も一致。

水面の波立ち(=電流の熱)として消える——モデルはエネルギーの行き先まで正しく写している。