極板間に金属板を挿入する

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 鍵は「金属の内部の電場は 0」(静電誘導が外場を完全に打ち消す)。電場 0 の区間は電位差を稼がない——厚さ $t$ のぶんだけ間隔が死ぬと考えればよい。

① 実効間隔。 電場があるのは上下のすき間(合計 $d-t=2.0\mathrm{mm}$)だけ。同じ $Q$ に対する電圧が $\frac{d-t}{d}$ 倍になるから

$$C^{\prime }=C\times \frac{d}{d-t}=2.0\times \frac{3.0}{2.0}=3.0\mu \mathrm{F}$$

② 位置によらないこと。 上のすき間 $d_1$、下のすき間 $d_2$($d_1+d_2=d-t$)のコンデンサーの直列と見ると

$$\frac{1}{C^{\prime }}=\frac{d_1}{{\epsilon }_{0}S}+\frac{d_2}{{\epsilon }_{0}S}=\frac{d_1+d_2}{{\epsilon }_{0}S}=\frac{d-t}{{\epsilon }_{0}S}$$

——和 $d_1+d_2$ しか現れないので、金属板をどこに置いても容量は同じである。

まとめ 「金属板=間隔をその厚さだけ短絡する部品」。極板にくっつけてしまえば単に間隔 $d-t$ のコンデンサー、という見方も同じ結論を出す。誘電体(${\epsilon }_r$ 倍に弱める)と金属(完全に消す=${\epsilon }_r\to \infty$ の極限)を並べて整理すると、挿入問題は 1 つの絵にまとまる。

別解

電位のグラフで見るルート。 極板間の電位を $x$ でグラフにすると、すき間では傾き $E$ の坂、金属の中では水平(傾き 0)——階段の踊り場である。同じ電圧を残りの坂だけで稼ぐには坂を急にするか、同じ $Q$(同じ傾き)なら総電圧が下がる——$V$ が $\frac{d-t}{d}$ 倍、$C=\frac{Q}{V}$ が $\frac{d}{d-t}$ 倍。

「$V$-$x$ グラフの踊り場」という絵は、誘電体挿入(傾きが $\frac{1}{{\epsilon }_r}$ に緩む)とも統一的に描ける——挿入問題の共通言語である。