物理 / 電場と電位

極板間隔を広げる(電池につないだまま)

★★ 標準コンデンサー極板操作

問題

前問と同じコンデンサー( $2.0 μ F$ 、 $100 V$ )を、今度は電池につないだまま極板の間隔を 2 倍に広げた。(1) 電圧 (2) 電気容量 (3) 電気量 (4) 静電エネルギーはそれぞれどうなるか。前問と比べて何が逆になるか。

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今度は電池が電圧を一定に保つので、V 固定である。V 入りの公式(Q=CV、U=½CV²)を選んで C の変化を通す。前問と同じ操作なのに、増減が逆になる項目はどれか。

解答・解説

方針

接続のまま=V 固定。C 半分→Q 半分・U 半分。電荷は電池に逆流。電池を切って極板間隔を広げる問題と比べて、何を固定するかで結果が変わることを確かめる。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 同じ「間隔 2 倍」でも、今回は電池が V=100 V を保証するので、V 固定である。 $Q = C V$ 、 $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ とV を含む形で読む。

① 電圧。 電池がつながっている:

$V = 100 V (不変)$

② 容量。

$C^{'} = 1.0 μ F (半分)$

③ 電気量。

$Q^{'} = C^{'} V = 1.0 \times 1 0^{- 4} C (半分。余った電荷は電池へ逆流する)$

④ エネルギー。

$U^{'} = \frac{1}{2} C^{'} V^{2} = 5.0 \times 1 0^{- 3} J (半分)$

まとめ前問(Q 固定)ではV・U が 2 倍、今回(V 固定)ではQ・U が半分になった。操作は同一なのに、固定量の違いで結果が逆転した。この対比こそが「第一手は固定量の確定」という原則の存在理由である。なおエネルギー収支は今回は 3 者(外力の仕事+コンデンサーの減少分→電池への充電)で釣り合う。電池が絡む収支は応用で本格的に扱う。

答

(1) 電池が保つので $100 V$ のまま (2) 半分( $1.0 μ F$ ) (3) $Q = C V$ で半分( $1.0 \times 1 0^{- 4} C$ 、余りは電池へ戻る) (4) $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ で半分( $5.0 \times 1 0^{- 3} J$ )。前問では V・U が増えたが、今回は Q・U が減る。固定される量が違うので、結果が逆になる

別解

対比表で 2 題を 1 枚にまとめるルート。 間隔 2 倍の操作で:

Q 固定(切り離し): E 不変、V 2 倍、U 2 倍(外力の仕事が流入)
V 固定(接続): E 半分、Q 半分、U 半分(電荷とエネルギーが電池へ帰る)

「E は Q が決める(Q 固定なら不変)/V は電池が決める」ので、どちらが固定されているかで全項目が決まる。この表を自分で再現できれば、極板操作は全パターン即答できる。

ポイント

接続のまま=V 固定(V 入りの公式)
Q・U は半分、余剰電荷は電池へ
電池を切って間隔を広げる問題と比べ、固定する量の違いをつかむ

よくある間違い

Q が変わらないとする
V が 2 倍になるとする
前問と同じ答えを書いてしまう