コンデンサーの直並列混合回路

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 混合回路は「合成は内側から、分配は外側から」の往復で解く。抵抗の合成と同じ段取りだが、直列・並列の公式が逆なことに注意する。

① 合成容量。 並列部: $C_{23}=3.0+3.0=6.0\mu \mathrm{F}$。これと $C_1$ の直列:

$$C=\frac{C_1{C}_{23}}{C_1+C_{23}}=\frac{2.0\times 6.0}{8.0}=1.5\mu \mathrm{F}$$

② C₁ の電気量と電圧。 直列部は $Q$ 共通で、全体の $Q$ がそのまま $C_1$ に:

$$Q_1=CV=1.5\times 10^{-6}\times 100=1.5\times 10^{-4}\mathrm{C},V_1=\frac{Q_1}{C_1}=\frac{1.5\times 10^{-4}}{2.0\times 10^{-6}}=75\mathrm{V}$$

③ C₂ の電気量。 並列部の電圧は $100-75=25\mathrm{V}$(共通):

$$Q_2=C_2\times 25=3.0\times 10^{-6}\times 25=7.5\times 10^{-5}\mathrm{C}$$

(検算: $Q_2+Q_3=7.5\times 10^{-5}\times 2=1.5\times 10^{-4}=Q_1$ ✓——並列部に入る電荷の和が直列の $Q$ に一致。)

まとめ 「合成は内から、分配は外から、最後に電荷の合流で検算」——混合回路の 3 拍子である。電圧の分配($75:25$)が容量の逆比($C_1:C_{23}=2:6$ の逆 $6:2=3:1$)になっていることも確認できる。この型は抵抗回路・コンデンサー回路に共通の骨格で、直流回路(次の単元)への渡り廊下になる。

別解

電圧の逆比で最短で出すルート。 直列 2 段($C_1=2.0$ と $C_{23}=6.0$)の電圧は容量の逆比 $6:2=3:1$——$100\mathrm{V}$ を $75:25$ に分ける。$V_1=75\mathrm{V}$ が即座に出て、$Q_1=C_1{V}_1$、$Q_2=C_2\times 25$ と全部が芋づるで決まる。

合成容量を経由しない分だけ速い——ただし逆比の向きを間違えると全滅するので、検算(電荷の合流)は必ず添える。