物理 / 電場と電位

電子の加速と偏向(ブラウン管の原理)

★★★ 応用電子融合文字式

問題

静止した電子(電荷 $e$ 、質量 $m$ )を電位差 $V_{0} = 100 V$ で加速し、速さ $v$ にする。次にこの電子を、間隔 $d = 2.0 \times 1 0^{- 2} m$ 、電圧 $V_{1} = 20 V$ 、長さ $L = 0.10 m$ の平行板の間に、板と平行に入射させて偏向させる。(1) 加速後の速さ $v$ を $e, m, V_{0}$ で表せ。 (2) 平行板を出るときの進行方向のずれの角 $θ$ について、 $tan θ$ を $V_{0}, V_{1}, L, d$ で表し、 $e, m$ によらないことを示せ。 (3) $tan θ$ の値を求めよ。

加速してから平行板で曲げる——ブラウン管の基本構成

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加速はエネルギー保存、偏向は放物運動——2 つの既習の型のリレーである。tanθ の式に v² を代入したとき、何が起こるかに注目。分母分子の e と m の運命を見届けよう。

解答・解説

方針

加速: eV₀=½mv²。偏向: a=eE/m=eV₁/md、通過時間 t=L/v、vy=at。tanθ=vy/v に v²=2eV₀/m を代入すると e,m が約分。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「加速(エネルギー保存)→偏向(放物運動)」の2 段リレーである。文字式で最後まで進めると、 $e, m$ が消えるという美しい結末が待っている。

① 加速。 $e V_{0} = \frac{1}{2} m v^{2}$ より

$v = \frac{2 e V _{0}}{m}$

② 偏向と tanθ。 極板間の電場は $E = \frac{V _{1}}{d}$ 、加速度 $a = \frac{e V _{1}}{m d}$ 、通過時間 $t = \frac{L}{v}$ :

$v_{y} = a t = \frac{e V _{1} L}{m d v} ⟹ tan θ = \frac{v _{y}}{v} = \frac{e V _{1} L}{m d v ^{2}}$

ここへ $v^{2} = \frac{2 e V _{0}}{m}$ を代入すると、 $e$ も $m$ も約分されて

$tan θ = \frac{e V _{1} L}{m d} \times \frac{m}{2 e V _{0}} = \frac{V _{1} L}{2 d V _{0}}$

③ 数値。

$tan θ = \frac{20 \times 0.10}{2 \times 2.0 \times 1 0 ^{- 2} \times 100} = 0.50$

まとめ $e, m$ が消える理由——加速も偏向も同じ電気力なので、「効きやすさ( $\frac{e}{m}$ )」が両方に共通で効いて相殺するのである。だからブラウン管の偏向角は加速電圧と偏向電圧の比だけで設計でき、電子の個性を知らなくてよい。逆に $e, m$ を測りたければ別の力(磁場)を混ぜる必要がある——次の磁場の単元で、トムソンの比電荷測定として回収される伏線である。

答

(1) $v = \frac{2 e V _{0}}{m}$ (2) $tan θ = \frac{v _{y}}{v} = \frac{( e V _{1} / m d ) ( L / v )}{v} = \frac{e V _{1} L}{m d v ^{2}} = \frac{V _{1} L}{2 d V _{0}}$ —— $e, m$ が消える (3) $tan θ = \frac{20 \times 0.10}{2 \times 2.0 \times 1 0 ^{- 2} \times 100} = 0.50$

別解

エネルギー比で tanθ を読み直すルート。 $tan θ = \frac{V _{1} L}{2 d V _{0}} = \frac{e V _{1} \cdot \frac{L}{2 d}}{e V _{0}}$ ——分子は「偏向電場が中点までの飛行で与える仕事の尺度」、分母は「加速でもらったエネルギー」。もらったエネルギーに対する横向きの仕事の割合が曲がりを決める、と読める。

次元のない比( $V_{1} / V_{0}$ と $L / d$ )だけで角度が決まる——スケール不変の設計式である。

ポイント

加速→偏向の 2 段リレー
e,m は約分で消える(同じ力だから)
tanθ=V₁L/2dV₀

よくある間違い

偏向部で速さ v も変わるとする(横に曲がるだけ)
t を L でなく d から出す
代入せず e,m を残したまま終える