物理 / 電場と電位

球でつくるコンデンサー(地球の電気容量)

最難関編電気容量電位球対称

問題

半径 $R_{1} = 0.10 m$ の導体球を、半径 $R_{2} = 0.15 m$ の薄い導体球殻で同心に包む。内側の球に電荷 $+ Q$ を与え、外側の球殻には $- Q$ を与える。

球殻の間の電場は、中心に点電荷 $+ Q$ があるときと同じであるとしてよい。したがって中心から距離 $r$ ( $R_{1} \leq r \leq R_{2}$ )の点の電位は $\frac{k Q}{r}$ に等しい。 $k = 9.0 \times 1 0^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}$ とする。

同心に置いた導体球と導体球殻。内側に +Q、外側に −Q を与える。

(1) 内側の球と外側の球殻の電位差を、 $k, Q, R_{1}, R_{2}$ で表せ。

(2) この装置の電気容量を求め、数値を pF 単位で答えよ。

(3) 外側の球殻を無限に大きくすると、孤立した導体球の電気容量が得られる。その式と、 $R_{1} = 0.10 m$ のときの値を求めよ。

(4) 地球を半径 $6.4 \times 1 0^{6} m$ の導体球とみなしたときの電気容量を求めよ。

ヒントを見る

電位差は 2 点の電位の引き算である。使える式は $\frac{k Q}{r}$ だけでよい。容量の定義に戻ると、 $Q$ が消えるはずである。

解答・解説

方針

電位差は「内側の電位」から「外側の電位」を引くだけで出る。どちらも $\frac{k Q}{r}$ の形なので、差は $\frac{1}{r}$ の差になる。容量は定義どおり $C = \frac{Q}{V}$ で求める。極限をとると孤立球の容量が現れる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 コンデンサーというと平行板を思い浮かべるが、電気容量の定義は「電荷を電位差で割ったもの」であって、形は問わない。

球の場合、電位が $\frac{k Q}{r}$ という簡単な式で書けるので、電位差は引き算だけで出る。あとは定義どおり割ればよい。

そして、外側を無限に遠ざける極限をとると、「1 個の球そのものの容量」という考え方にたどりつく。

① 電位差。 内側の球の表面( $r = R_{1}$ )と外側の球殻( $r = R_{2}$ )の電位はそれぞれ $\frac{k Q}{R _{1}}, \frac{k Q}{R _{2}}$ である。

$V = \frac{k Q}{R _{1}} - \frac{k Q}{R _{2}} = k Q (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) = k Q \cdot \frac{R _{2} - R _{1}}{R _{1} R _{2}}$

② 電気容量。 定義に戻る。

公式電気容量の定義

C = \frac{Q}{V}

(形によらない)

$C = \frac{Q}{V} = \frac{R _{1} R _{2}}{k ( R _{2} - R _{1} )}$

$Q$ がきれいに消える。容量が形と大きさだけで決まるという事実が、ここに現れている。

$C = \frac{0.10 \times 0.15}{9.0 \times 1 0 ^{9} \times 0.05} = \frac{0.015}{4.5 \times 1 0 ^{8}} \approx 3.3 \times 1 0^{- 11} F = 33 pF$

電位 kQ/r のグラフ(Q=1.0 nC の場合)。2 つの半径での値の差が電位差になる。

③ 孤立した導体球。 ② の式で $R_{2} \to \infty$ とする。分母・分子を $R_{2}$ で割ると

$C = \frac{R _{1} R _{2}}{k ( R _{2} - R _{1} )} = \frac{R _{1}}{k ( 1 - \frac{R _{1}}{R _{2}} )} ⟶ \frac{R _{1}}{k}$

$C = \frac{0.10}{9.0 \times 1 0 ^{9}} \approx 1.1 \times 1 0^{- 11} F = 11 pF$

これは「無限に遠いところを電位の基準とした 1 個の球の容量」である。同心球の $33 pF$ はその 3 倍で、相手を近くに置くほど容量が大きくなるという性質(平行板で $d$ を小さくするのと同じ)がここにも現れている。

④ 地球の容量。

$C = \frac{R}{k} = \frac{6.4 \times 1 0 ^{6}}{9.0 \times 1 0 ^{9}} \approx 7.1 \times 1 0^{- 4} F$

$710 μ F$ ほどである。地球ほど巨大でも、電子部品でよく使う程度の容量にしかならない。

まとめ 容量の定義に戻れば、平行板でなくても計算できる。球では $\frac{1}{r}$ の引き算だけで電位差が出るのが便利である。

発展 — 一歩先へ。 「アース(接地)すると電位が $0$ になる」という言い方をよくする。地球の容量が $7 \times 1 0^{- 4} F$ もあるので、多少の電荷を流しこんでも $\frac{Q}{C}$ の電位変化がほとんど無視できるほど小さい、というのがその意味である。

たとえば $1 μ C$ を地球に渡しても、電位の変化は $\frac{1.0 \times 1 0 ^{- 6}}{7.1 \times 1 0 ^{- 4}} \approx 1.4 \times 1 0^{- 3} V$ にすぎない。「電位の基準」として使えるのは、容量が桁違いに大きいからである。

答

$V = k Q (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}})$ 、 $C = \frac{R _{1} R _{2}}{k ( R _{2} - R _{1} )} = 33 pF$ 、孤立球は $C = \frac{R}{k} = 11 pF$ 、地球は $7.1 \times 1 0^{- 4} F$

別解

平行板の式との橋渡しで見るルート。 同心球の容量の式は、 $R_{2}$ が $R_{1}$ に近いとき、平行板の式に一致する。

すき間を $d = R_{2} - R_{1}$ とおき、 $d$ が $R_{1}$ に比べて十分小さいとする。このとき $R_{1} R_{2} \approx R_{1}^{2}$ だから

$C = \frac{R _{1} R _{2}}{k d} \approx \frac{R _{1}^{2}}{k d}$

ここで $k = \frac{1}{4 π ε _{0}}$ を使うと

$C \approx \frac{4 π R _{1}^{2} ε _{0}}{d} = \frac{ε _{0} S}{d}$

$4 π R_{1}^{2}$ は球の表面積 $S$ そのものである。つまり平行板コンデンサーの式にちょうど一致する。

すき間が狭ければ、球面も局所的には平らな板と変わらない。この確認は、球の式が正しいことの検算になるだけでなく、「容量は向かい合う面積に比例し、すき間に反比例する」という感覚が形によらないことを示している。

ポイント

電気容量の定義 C=Q/V は形によらない
球では電位が kQ/r なので、電位差は 1/r の引き算だけ
孤立導体球の容量は C=R/k(半径だけで決まる)
地球の容量は約 710 μF。アースが電位の基準になるのはこの大きさのため

よくある間違い

電位差を kQ/(R2−R1) としてしまう(電位の差であって、距離の差ではない)
外側の球殻の電荷 −Q が電位差に効くと考える(球殻の内部では、球殻自身の電位への寄与は一定)
容量が電荷によって変わると思う(定義から Q は消える)