充電で電池がする仕事と発生する熱

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 電池とコンデンサーで仕事の計算式が違う——ここが問題の核心である。電池は常に一定の 100 V で電荷を送る(½ なし)、コンデンサーは 0 から徐々に電圧が上がる(½ あり)。

① 電池の仕事。 電荷 $Q=CV=2.0\times 10^{-4}\mathrm{C}$ を一定の起電力で運んだ:

$$W=QV=2.0\times 10^{-4}\times 100=2.0\times 10^{-2}\mathrm{J}$$

② コンデンサーのエネルギー。

$$U=\frac{1}{2}QV=1.0\times 10^{-2}\mathrm{J}$$

③ 熱。 エネルギー保存より

$$Q_{熱}=W-U=1.0\times 10^{-2}\mathrm{J}$$

まとめ 「電池の仕事の半分しか蓄わらず、半分は必ず熱になる」——しかも抵抗の値によらない(抵抗が小さければ大電流が短時間、大きければ小電流が長時間流れ、熱の総量は同じ)。$Q$-$V$ グラフで見れば、長方形($QV$=電池)と三角形($\frac{1}{2}QV$=コンデンサー)の差の三角形が熱——面積の絵で覚えるのが確実である。

別解

Q-V グラフの面積で見るルート。 横軸 Q・縦軸 V で、電池は高さ 100 V の水平線(長方形の面積 $QV$)、コンデンサーの端子電圧は原点からの直線(三角形 $\frac{1}{2}QV$)。2 つの図形の間の三角形が、各瞬間に抵抗へ落ちた電圧×電荷=熱の総量である。

「半分は必ず失う」は交流回路や RC 回路でも顔を出す重要な事実——面積の絵 1 枚で携帯しておきたい。