3 つの点電荷を組み立てる仕事

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「3 個の電荷のエネルギー」と言われても、いきなり式は書けない。しかし「1 個ずつ運んでくる」と考えると、各段階でやることが決まる。

$1$ 個目は何もない空間へ運ぶので、力を受けず仕事も要らない。$2$ 個目からは、すでにある電荷がつくる電位に逆らって運ぶ。

このとき使えるのが $W=qV$ である。運ぶ先の電位さえ分かれば、経路を追う必要はない。

① 1 個ずつの仕事。

$1$ 個目。まわりに何もないので、電場も $0$ である。

$$W_1=0$$

$2$ 個目。$1$ 個目から距離 $a$ の点へ運ぶ。その点の電位は $\frac{kq}{a}$ だから

$$W_2=q\cdot \frac{kq}{a}=\frac{k{q}^2}{a}=\frac{9.0\times 10^9\times (2.0\times 10^{-6}{)}^2}{0.30}=0.12\mathrm{J}$$

$3$ 個目。すでに 2 個あり、どちらからも距離 $a$ の点へ運ぶ。電位は重ね合わせで $\frac{2kq}{a}$ になる。

$$W_3=q\cdot \frac{2kq}{a}=0.24\mathrm{J}$$

② 合計。

$$U=W_1+W_2+W_3=0+0.12+0.24=0.36\mathrm{J}$$

文字で書くと $U=\frac{3k{q}^2}{a}$ である。これは正三角形の 3 辺それぞれについて $\frac{k{q}^2}{a}$ を足したものになっている。

③ 順番によらない理由。 ② の結果を「辺ごとの和」として読み直すと、答えが順番によらないことが見える。3 本の辺のそれぞれが $\frac{k{q}^2}{a}$ を出しており、どの順で運んでも、最後に組み上がる形は同じだからである。

もっと根本的には、電気の力が保存力であることによる。電荷を運ぶ仕事は途中の経路によらず、始点と終点の電位だけで決まる。だから運ぶ順序という「経路の選び方」が結果に影響しない。

もし順番によって合計が変わるとしたら、同じ配置をつくるのに安上がりな手順が存在することになり、その差を使って何度でもエネルギーを取り出せてしまう。エネルギー保存に反する。

④ 飛び去るときの速さ。 固定を外すと、蓄えられていた $0.36\mathrm{J}$ がすべて運動エネルギーに変わる。

対称な配置なので、3 個の速さは等しく、それぞれ中心から外向きに飛ぶ。

$$U=3\times \frac{1}{2}m{v}^2$$

$$v=\sqrt{\frac{2U}{3m}}=\sqrt{\frac{2\times 0.36}{3\times 1.0\times 10^{-6}}}=\sqrt{2.4\times 10^5}\approx 4.9\times 10^{2}m/s$$

まとめ 静電エネルギーは「組み立てるのに要した仕事」である。$1$ 個ずつ運ぶ手順で考えると、$W=qV$ だけで計算できる。

発展 — 一歩先へ。 ② の $U=\frac{3k{q}^2}{a}$ は「$3$ 本の辺の寄与の和」だった。一般に $n$ 個の電荷なら、すべての組(ペア)について $\frac{k{q}_i{q}_j}{r_{ij}}$ を足せばよい。組の数は $\frac{n(n-1)}{2}$ である。

この見方を進めると、原子核の中の陽子どうしの反発エネルギーが計算できる。陽子が増えるほどペアの数が急に増える(おおよそ $Z^2$ に比例する)ので、重い原子核ほど電気的な反発が効いてくる。ウランのような重い核が分裂しやすいのは、この効き方が原因の一つである。

別解

辺ごとに分けて数えるルート。 順に運ぶ手順を追わずに、最初から「ペアごとのエネルギー」として数える方法がある。

2 個の点電荷 $q_1,q_2$ が距離 $r$ にあるとき、その組がもつ静電エネルギーは

$$U_{12}=\frac{k{q}_1{q}_2}{r}$$

である。3 個ある場合、組は $(1,2),(1,3),(2,3)$ の 3 つで、正三角形ならどれも距離が $a$、電荷も同じだから

$$U=3\times \frac{k{q}^2}{a}=3\times 0.12=0.36\mathrm{J}$$

同じ答えが 1 行で出る。

この数え方の利点は、順番を考える必要がないことである。「組の数だけ足す」と決めておけば、電荷の個数が増えても数え落としが起きない。

ただし注意が 1 つある。ペアを二重に数えないことである。$(1,2)$ と $(2,1)$ は同じ組で、$1$ 回だけ数える。「1 個ずつ運ぶ」手順で計算すると、この二重数えが自動的に避けられる。だから手順で考える方法と、組で数える方法は、たがいのよい検算になる。