物理 / 電場と電位

誘電体を入れる(電池つなぎのまま)

★★ 標準コンデンサー誘電体

問題

電気容量 $2.0 μ F$ の平行板コンデンサーを $100 V$ の電池につないだまま、極板間を比誘電率 $ε_{r} = 2.0$ の誘電体で満たした。(1) 電気容量 (2) 電気量 (3) 静電エネルギーは、それぞれ元の何倍になるか。

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まず「何が固定か」——電池につないだままなら電圧。次に誘電体で C がどうなるか。あとは Q=CV、U=½CV² に固定量を通すだけで、すべての倍率が芋づるで出る。

解答・解説

方針

電池つなぎ=V 固定。C が εr 倍→Q も U も εr 倍。固定量から芋づる式に。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 コンデンサー操作問題の手順は毎回同じ 2 段——(1) 固定量の確定(電池つなぎ=V 固定/切り離し=Q 固定)、(2) 固定量を軸に $Q = C V$ と $U$ を読む。

① 容量。 誘電体は極板間の電場を弱め、同じ電圧でより多くの電荷を蓄えさせる:

$C^{'} = ε_{r} C = 2.0 \times 2.0 = 4.0 μ F (2 倍)$

② 電気量。 $V = 100 V$ で固定だから

$Q^{'} = C^{'} V = 2 倍 (2.0 \times 1 0^{- 4} \to 4.0 \times 1 0^{- 4} C)$

(足りない電荷は電池が追加で送り込む。)

③ エネルギー。

$U^{'} = \frac{1}{2} C^{'} V^{2} = 2 倍 (1.0 \times 1 0^{- 2} \to 2.0 \times 1 0^{- 2} J)$

まとめ 「V 固定なら、C の倍率がそのまま Q と U の倍率」——シンプルだが、切り離した場合(Q 固定)では結果が変わる( $V$ は $\frac{1}{ε _{r}}$ 、 $U$ は $\frac{1}{ε _{r}}$ 倍に減る)。同じ操作でも固定量で答えが逆転する——次の極板間隔の問題(対比の 2 題)で徹底的に確かめる。

答

(1) $C^{'} = ε_{r} C = 2$ 倍( $4.0 μ F$ ) (2) $V$ 一定なので $Q = C V$ も $2$ 倍 (3) $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ も $2$ 倍

別解

なぜ誘電体で C が増えるかの絵ルート。 誘電体の分子は電場の中で分極し、極板の電荷を部分的に打ち消す向きの表面電荷を作る。極板間の電場が弱まる→同じ電圧を保つにはもっと電荷が要る→「同じ V でたくさん入る」=容量増。

$ε_{r}$ は「分極でどれだけ電場を弱められるか」の指標(水は約 80!)——コンデンサーの誘電体が単なる絶縁スペーサーでなく、能動的な部品である理由がここにある。

ポイント

第一手は固定量の確定(電池=V)
C が εr 倍→Q・U も εr 倍
追加の電荷は電池が供給

よくある間違い

Q が変わらないとする(切り離しと混同)
U が減るとする
εr を d の変化のように逆数で効かせる