コンデンサーのエネルギー

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 エネルギーの公式は 3 つ($\frac{1}{2}C{V}^2$、$\frac{1}{2}QV$、$\frac{Q^2}{2C}$)あるが、$Q=CV$ で結ばれた同一の量の 3 つの顔である。与えられた量に合わせて顔を選ぶ。

① CV² で。

$$U=\frac{1}{2}\times 2.0\times 10^{-6}\times 100^2=1.0\times 10^{-2}\mathrm{J}$$

② QV で。 $Q=CV=2.0\times 10^{-4}\mathrm{C}$:

$$U=\frac{1}{2}\times 2.0\times 10^{-4}\times 100=1.0\times 10^{-2}\mathrm{J}✓$$

まとめ $\frac{1}{2}$ の由来——充電の途中、電圧は 0 から 100 V までだんだん上がる。最初の電荷は楽に運べ、最後ほど重い。平均の電圧 $\frac{V}{2}$ で全電荷 $Q$ を運んだ勘定になり、$U=Q\times \frac{V}{2}$——ばねの $\frac{1}{2}k{x}^2$ と同じ「三角形の面積」の $\frac{1}{2}$ である。$Q$-$V$ グラフの三角形として覚えると忘れない。

別解

使い分けの戦略ルート。 電池につないだまま($V$ 固定)の変化は $\frac{1}{2}C{V}^2$、切り離した($Q$ 固定)変化は $\frac{Q^2}{2C}$ が便利——固定される量が式に入っている形を選ぶと、変化の議論が 1 目で済む。

例: 電池を切って間隔 2 倍→$C$ 半分→$\frac{Q^2}{2C}$ は 2 倍(標準でやる)。「どの量が固定か」から公式を選ぶ——3 つの顔の実戦的な使い分けである。