極板間隔を広げる(電池を切って)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 切り離し=Q 固定。固定量が Q だから、$V=\frac{Q}{C}$、$U=\frac{Q^2}{2C}$ と Q 入りの顔の公式を選ぶと、C の変化だけで全部読める。

① 電気量。 回路が切れていて逃げ道がない:

$$Q=2.0\times 10^{-4}\mathrm{C}(不変)$$

② 容量。 $C={\epsilon }_0\frac{S}{d}$ で $d$ が 2 倍:

$$C^{\prime }=1.0\mu \mathrm{F}(半分)$$

③ 電圧。

$$V^{\prime }=\frac{Q}{C^{\prime }}=\frac{2.0\times 10^{-4}}{1.0\times 10^{-6}}=200\mathrm{V}(2倍)$$

④ エネルギー。

$$U^{\prime }=\frac{Q^2}{2C^{\prime }}=2倍(2.0\times 10^{-2}\mathrm{J})$$

まとめ 増えた $1.0\times 10^{-2}\mathrm{J}$ の出どころは——極板を引き離した外力の仕事である(異符号に帯電した極板は引き合っており、逆らって広げるには仕事が要る)。「Q 固定・電場 $E=\frac{Q}{{\epsilon }_{0}S}$ は間隔によらず一定・$V=Ed$ が距離に比例して増える」という電場の見方でも同じ結論に着く。エネルギー収支まで語れれば、この型は完成である。

別解

電場一定で見通すルート。 極板の電荷 Q が作る電場は $E=\frac{V}{d}$……ではなく Q で決まり($E=\frac{Q}{{\epsilon }_{0}S}$)、間隔を変えても不変である。すると $V=Ed$ は $d$ に比例して 2 倍、エネルギーは「一定の引力 $F$ に逆らって $d$ だけ余計に運んだ仕事 $Fd$」の分だけ増える——力学の絵で全部説明がつく。

Q 固定の問題は「E 一定」を合言葉にすると、V も U も暗算になる。