物理 / 電場と電位

コンデンサーの直列接続

★★ 標準コンデンサー接続

問題

$C_{1} = 2.0 μ F$ と $C_{2} = 3.0 μ F$ のコンデンサーを直列につなぎ、 $100 V$ の電池に接続した(はじめ電荷はない)。(1) 合成容量 (2) 各コンデンサーの電気量と電圧を求めよ。

直列接続。挟まれた「島」の電荷保存から Q 共通が出る

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直列の 2 つのコンデンサーに挟まれた部分(島)は、どこにもつながっていない——最初の電荷 0 が保たれる。すると上の極板に +Q が来たら島はどう帯電するか。「Q が共通」が見えれば、あとは V=Q/C の分配。

解答・解説

方針

直列=電気量共通(間の島は電荷保存で ±Q)。合成は逆数和。電圧は容量の逆比 3:2。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 直列の急所は「間の島」の電荷保存である。 $C_{1}$ の下極板と $C_{2}$ の上極板は外と絶縁された島——最初 0 だった電荷の和は 0 のまま。 $C_{1}$ の上に $+ Q$ が来ると島は $- Q$ と $+ Q$ に分極し、結局全部のコンデンサーに同じ $Q$ が並ぶ。

① 合成容量。 $V = V_{1} + V_{2} = \frac{Q}{C _{1}} + \frac{Q}{C _{2}}$ より

公式直列接続:

\frac{1}{C} = \frac{1}{C _{1}} + \frac{1}{C _{2}}

(電気量共通・逆数和)

$\frac{1}{C} = \frac{1}{2.0} + \frac{1}{3.0} = \frac{5}{6} ⟹ C = 1.2 μ F$

② 電気量と電圧。

$Q = C V = 1.2 \times 1 0^{- 6} \times 100 = 1.2 \times 1 0^{- 4} C (共通)$

$V_{1} = \frac{Q}{C _{1}} = \frac{1.2 \times 1 0 ^{- 4}}{2.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 60 V, V_{2} = 40 V (和は 100 V ✓)$

まとめ 「直列=電荷共通・電圧は容量の逆比」( $V \propto \frac{1}{C}$ だから $60 : 40 = 3 : 2$ は容量 $2 : 3$ の逆)——小さい容量ほど大きな電圧を引き受ける。島の電荷保存という 1 つの原理から、公式も分配則も全部導けた——応用のスイッチ回路でもこの「島に注目」が主役になる。

答

(1) $\frac{1}{C} = \frac{1}{2.0} + \frac{1}{3.0}$ より $C = 1.2 μ F$ (2) 電気量は共通 $Q = C V = 1.2 \times 1 0^{- 4} C$ 、 $V_{1} = \frac{Q}{C _{1}} = 60 V$ 、 $V_{2} = 40 V$

別解

間隔を足す絵で見るルート。 同じ面積の平行板なら、直列は極板間隔を $d_{1} + d_{2}$ に伸ばした 1 つのコンデンサーと同じ( $C = ε_{0} S / d$ の $d$ が足される→容量は逆数和)。並列=面積の和、直列=間隔の和——平行板の式 1 本に両公式が畳み込まれている。

電圧の逆比分配も「同じ電場ではなく同じ Q(同じ電気力線の本数)が両区間を貫き、長い区間ほど電位差が大きい」と絵で言える。

ポイント

島の電荷保存→Q 共通
1/C=1/C1+1/C2(間隔を足す)
電圧は容量の逆比

よくある間違い

和にする(並列と混同)
電圧を容量比で分配する
逆数和の逆数を取り忘れる