つないだ 2 つの導体球 — 電荷はどう分かれるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「電荷は大きい球に多く行きそう」という直感は正しいが、その配分は何で決まるのか。

導線でつなぐと 2 つの球は 1 つの導体になる。導体の内部に電位差があれば電荷が動き続けるので、静止したときには電位が等しくなっているはずである。

つまり使う条件は 2 つ、「電位が等しい」と「電荷の合計が変わらない」だけである。

① つなぐ前の電位。 半径 $R$ の導体球に電荷 $q$ があるとき、表面の電位は中心に点電荷があるときと同じで $\frac{kq}{R}$ である。

$$V=\frac{kQ}{R_1}=\frac{9.0\times 10^9\times 4.0\times 10^{-8}}{0.10}=3600\mathrm{V}$$

② 電荷の分配。 つないだあとの電荷を $Q_{\mathrm{A}},Q_{\mathrm{B}}$ とすると

$$\frac{k{Q}_{\mathrm{A}}}{R_1}=\frac{k{Q}_{\mathrm{B}}}{R_2},Q_{\mathrm{A}}+Q_{\mathrm{B}}=Q$$

第 1 式から $Q_{\mathrm{A}}:Q_{\mathrm{B}}=R_1:R_2=1:3$ である。

$$Q_{\mathrm{A}}=1.0\times 10^{-8}\mathrm{C},Q_{\mathrm{B}}=3.0\times 10^{-8}\mathrm{C}$$

③ 電位と表面の電場。

$$V^{\prime }=\frac{k{Q}_{\mathrm{A}}}{R_1}=\frac{9.0\times 10^9\times 1.0\times 10^{-8}}{0.10}=900\mathrm{V}$$

表面の電場は

$$E_{\mathrm{A}}=\frac{k{Q}_{\mathrm{A}}}{R_1^2}=9.0\times 10^{3}V/m,E_{\mathrm{B}}=\frac{k{Q}_{\mathrm{B}}}{R_2^2}=3.0\times 10^{3}V/m$$

ここが面白いところである。電位は等しいのに、表面の電場は小さい球のほうが強い。実際、$E=\frac{kq}{R^2}$ と $V=\frac{kq}{R}$ を比べると

$$E=\frac{V}{R}$$

だから、電位が同じなら電場は半径に反比例する。比は $E_{\mathrm{A}}:E_{\mathrm{B}}=R_2:R_1=3:1$ である。

④ エネルギーの行方。 電荷 $q$ をもつ導体球の静電エネルギーは $\frac{1}{2}qV=\frac{k{q}^2}{2R}$ である。

つなぐ前は

$$U=\frac{1}{2}QV=\frac{1}{2}\times 4.0\times 10^{-8}\times 3600=7.2\times 10^{-5}\mathrm{J}$$

つないだあとは、どちらの球も電位が $900\mathrm{V}$ だから

$$U^{\prime }=\frac{1}{2}\left(Q_{\mathrm{A}}+Q_{\mathrm{B}}\right)V^{\prime }=\frac{1}{2}\times 4.0\times 10^{-8}\times 900=1.8\times 10^{-5}\mathrm{J}$$

$$U-U^{\prime }=5.4\times 10^{-5}\mathrm{J}$$

$75\%$ が失われた。電荷が導線を移動するとき、導線には電流が流れる。その間にジュール熱として失われた分である(移動が速ければ電磁波としても放出される)。

まとめ 条件は「電位が等しい」「電荷の合計が一定」の 2 つだけ。そこから、電荷は半径に比例して分かれ、表面の電場は半径に反比例することが出る。

発展 — 一歩先へ。 ③ の結果は、とがった部分ほど電場が強いことを意味する。導体の先端は「小さい半径の球」に近いので、そこだけ電場が桁違いに強くなり、空気の絶縁が破れて放電が起きる。これが尖端放電で、避雷針が針の形をしているのはこのためである。

逆に、高電圧の装置で放電を防ぎたいときは、角をなくして丸みをもたせる。同じ電位でも、半径が大きければ表面の電場は弱いからである。

別解

電気容量で見るルート。 孤立した導体球の電気容量は $C=\frac{q}{V}=\frac{R}{k}$ で、半径だけで決まる。つまり球は「容量 $\frac{R}{k}$ のコンデンサー」とみなせる。

2 つの球を導線でつなぐのは、コンデンサーの並列接続である。並列では電圧が共通で、電荷は容量に比例して分かれる。

$$Q_{\mathrm{A}}:Q_{\mathrm{B}}=C_1:C_2=R_1:R_2=1:3$$

合成容量は $C_1+C_2=\frac{R_1+R_2}{k}$ だから、共通の電位は

$$V^{\prime }=\frac{Q}{C_1+C_2}=\frac{kQ}{R_1+R_2}=\frac{9.0\times 10^9\times 4.0\times 10^{-8}}{0.40}=900\mathrm{V}$$

エネルギーの損失も、コンデンサーの知識がそのまま使える。充電されたコンデンサーを別のコンデンサーにつなぐと必ずエネルギーが減る、というよく知られた事実の一例である。

「導体球 = コンデンサー」と読みかえると、回路で覚えた道具がそのまま静電気の問題に持ちこめる。