物理 / 電場と電位

平行板コンデンサーの容量

★ 基礎コンデンサー平行板

問題

面積 $1.0 \times 1 0^{- 2} m^{2}$ の金属板 2 枚を間隔 $1.0 \times 1 0^{- 3} m$ で向かい合わせた平行板コンデンサーの電気容量を求めよ。真空の誘電率を $ε_{0} = 8.9 \times 1 0^{- 12} F/m$ とする。また、間隔を半分にすると容量はどうなるか。

平行板コンデンサー。容量は S に比例し d に反比例

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式の形から「広い板ほど・近い板ほど大容量」と読める。なぜ近いほど大きいか——同じ電圧で電場(V/d)が強くなり、より多くの電荷を引きつけられる、と理屈も添えられるとよい。

解答・解説

方針

C=ε₀S/d。広いほど大、近いほど大。d 半分→C 2 倍(反比例)。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平行板の容量は形だけで決まる——広さ $S$ に比例し、間隔 $d$ に反比例する。

公式平行板コンデンサー:

C = ε_{0} \frac{S}{d}

① 代入する。

$C = \frac{8.9 \times 1 0 ^{- 12} \times 1.0 \times 1 0 ^{- 2}}{1.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 8.9 \times 1 0^{- 11} F (89 pF)$

② 間隔を半分にすると。 $C \propto \frac{1}{d}$ だから容量は 2 倍になる。

まとめ cm 級の板でも pF 程度——1 F がいかに巨大か分かる。「広く・近く」が大容量の合言葉で、実用のコンデンサーが薄い膜を何重にも巻いてある(面積を稼ぎ間隔を詰める)のはこの式の実装である。 $S, d$ を動かす問題(標準・応用)の物理は、すべてこの比例・反比例に還元される。

答

$C = ε_{0} \frac{S}{d} = \frac{8.9 \times 1 0 ^{- 12} \times 1.0 \times 1 0 ^{- 2}}{1.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 8.9 \times 1 0^{- 11} F$ (89 pF)。間隔半分で容量 2 倍

別解

なぜ d に反比例かを電場で見るルート。 電圧 $V$ を固定すると極板間の電場は $E = \frac{V}{d}$ ——間隔を詰めるほど強い電場になる。強い電場はより多くの電荷を極板に呼び込む( $Q \propto E$ )から、 $Q = C V$ の $C$ が $\frac{1}{d}$ で効く。

「近づける=同じ電圧で強い電場=たくさん入る」——式の反比例に物理の筋を通しておくと、極板操作の問題で迷わない。

ポイント

C=ε₀S/d(広く・近くで大)
d 半分で C 2 倍
実用素子は巻いて S を稼ぐ

よくある間違い

S と d を逆に置く
d 半分で C 半分とする
単位の接頭語(pF)の換算ミス