物理 / 電場と電位

一様電場中の放物運動

★★★ 応用電場放物運動

問題

強さ $1.0 \times 1 0^{3} N/C$ の一様な下向きの電場の中に、質量 $4.0 \times 1 0^{- 4} kg$ 、電荷 $+ 2.0 \times 1 0^{- 6} C$ の小球を、水平に速さ $3.0 m/s$ で打ち出した(重力は無視する)。(1) 小球の加速度 (2) 水平距離 $0.60 m$ 進む間の時間と、その間の落下量 (3) そのときの速度の鉛直成分を求めよ。

一様な下向き電場の中へ、水平に打ち出す

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力は一定(一様電場×一定電荷)——つまりこれは「重力の代わりに電気力で落ちる」放物運動である。g を qE/m に置き換えて、力学の水平投射の手順をそのままなぞればよい。

解答・解説

方針

qE/m の等加速度=重力場の g を qE/m に差し替えた放物運動。水平等速+鉛直等加速度の分解。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 一様電場中の荷電粒子は一定の力 $q E$ を受ける——「重力 $m g$ を電気力 $q E$ に差し替えた放物運動」である。力学の水平投射の完全な再放送として解ける。

① 加速度。

$a = \frac{q E}{m} = \frac{2.0 \times 1 0 ^{- 6} \times 1.0 \times 1 0 ^{3}}{4.0 \times 1 0 ^{- 4}} = 5.0 m/ s^{2} (電場と同じ下向き)$

② 時間と落下量。 水平は等速:

$t = \frac{0.60}{3.0} = 0.20 秒$

鉛直は初速 0 の等加速度:

$y = \frac{1}{2} a t^{2} = \frac{1}{2} \times 5.0 \times 0.040 = 0.10 m$

③ 鉛直速度。

$v_{y} = a t = 5.0 \times 0.20 = 1.0 m/s$

軌道は放物線。水平 0.60 m で 0.10 m 落ちる

まとめ 「水平は等速、鉛直は等加速度、時間 $t$ が共通の蝶番」——水平投射の 3 点セットがそっくり使えた。ブラウン管・インクジェットプリンター・質量分析器の偏向部は、みなこの「電気の放物運動」で荷電粒子の向きを曲げている。電子なら $\frac{q}{m}$ が桁違いに大きく、同じ電場で猛烈に曲がる——比電荷がここでも主役である。

答

(1) $a = \frac{q E}{m} = \frac{2.0 \times 1 0 ^{- 3}}{4.0 \times 1 0 ^{- 4}} = 5.0 m/ s^{2}$ (下向き) (2) $t = \frac{0.60}{3.0} = 0.20$ 秒、 $y = \frac{1}{2} a t^{2} = 0.10 m$ (3) $v_{y} = a t = 1.0 m/s$

別解

エネルギーで vy を検算するルート。 落下量 $0.10 m$ の間に電場がした仕事は $q E y = 2.0 \times 1 0^{- 3} \times 0.10 = 2.0 \times 1 0^{- 4} J$ 。これが鉛直方向の運動エネルギー:

$\frac{1}{2} m v_{y}^{2} = \frac{1}{2} \times 4.0 \times 1 0^{- 4} \times 1. 0^{2} = 2.0 \times 1 0^{- 4} J ✓$

運動学( $v_{y} = a t$ )とエネルギー( $q E y = \frac{1}{2} m v_{y}^{2}$ )の二重検算——力学で磨いた検算術が電気でもそのまま機能する。

ポイント

g→qE/m の差し替え
水平等速+鉛直等加速度(t が蝶番)
偏向装置の原理

よくある間違い

水平方向にも力があるとする
qE をそのまま加速度にする(m で割る)
t を鉛直の式から出そうとする