物理 / 電場と電位

電場が 0 になる点

★★ 標準電場重ね合わせ

問題

$x$ 軸上の原点に $Q_{1} = 4.0 \times 1 0^{- 6} C$ 、 $x = 0.30 m$ の点に $Q_{2} = 1.0 \times 1 0^{- 6} C$ の正の点電荷を置いた。2 つの電荷の間で、電場が 0 になる点の位置を求めよ。

同符号の 2 電荷。電場が打ち消し合う点を探す

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同符号の 2 電荷の間では、それぞれの作る電場が逆向きになる——打ち消し合える場所はこの区間だけ。等式を立てたら、2 乗のまま解かず平方根をとると 1 次方程式になって楽。

解答・解説

2 電荷の間では電場が逆向き→打ち消しうる。大きさの等式を立て、両辺の平方根で 1 次方程式に落とす。強い Q1 から遠い側に寄る。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 電場 0 の点を探す問題は、まず「どの区間で 2 つの電場が逆向きか」の見極めから始める。同符号の電荷では間の区間だけが逆向き(外側は同じ向きで打ち消せない)。

① 等式を立てる。 原点から $x$ ( $0 < x < 0.30$ )の点で

$k \frac{4.0 \times 1 0 ^{- 6}}{x ^{2}} = k \frac{1.0 \times 1 0 ^{- 6}}{( 0.30 - x ) ^{2}}$

② 平方根で 1 次に落とす。 $k$ と $1 0^{- 6}$ を払い、両辺の正の平方根をとると

$\frac{2}{x} = \frac{1}{0.30 - x} ⟹ 2 (0.30 - x) = x ⟹ x = 0.20 m$

③ 妥当性。 電荷の比は $4 : 1$ ——ゼロ点は強い $Q_{1}$ から遠く( $0.20 : 0.10 = 2 : 1$ の位置)にある ✓。距離の比の 2 乗が電荷の比( $2^{2} : 1^{2} = 4 : 1$ )になっている。

まとめ 「同符号→間で 0、異符号→外側(弱い方の外)で 0」——区間の見極めが第一手である。計算は平方根で 1 次化が定石(2 乗のまま展開すると 2 次方程式の遠回り)。距離の比= $電荷の比$ という関係で答えの検算もできる。

答

原点から $x$ の点で $\frac{4.0}{x ^{2}} = \frac{1.0}{( 0.30 - x ) ^{2}}$ 。平方根をとって $\frac{2}{x} = \frac{1}{0.30 - x}$ より $x = 0.20 m$

比で一気に出すルート。 ゼロ点は $E_{1} = E_{2}$ 、すなわち $\frac{Q _{1}}{r _{1}^{2}} = \frac{Q _{2}}{r _{2}^{2}}$ より

$\frac{r _{1}}{r _{2}} = \frac{Q _{1}}{Q _{2}} = 4 = 2$

間の 0.30 m を $2 : 1$ に内分して、原点から $0.20 m$ ——方程式を書かずに内分で終わる。「距離の比は電荷の比の平方根」を道具化した速解である。