物理 / 電場と電位

電場の重ね合わせ(±Q の中点)

★★ 標準電場重ね合わせ

問題

$+ 1.0 \times 1 0^{- 6} C$ と $- 1.0 \times 1 0^{- 6} C$ の点電荷が $0.30 m$ 離れて置かれている。両電荷を結ぶ線分の中点での電場の大きさと向きを求めよ。 $k = 9.0 \times 1 0^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}$ とする。

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中点での 2 つの電場の向きをそれぞれ矢印で描いてみる——+Q からは遠ざかる向き、−Q へは近づく向き。2 本の矢印は同じ向きか逆向きか。

解答・解説

方針

中点では +Q の電場(外向き=−Q 向き)と −Q の電場(−Q へ引き込む向き)が同じ向き→足し算。r=0.15 で各 4.0×10⁵、和 8.0×10⁵。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 重ね合わせの問題は矢印を 2 本描くことから始める。中点では、 $+ Q$ の電場は「 $+ Q$ から遠ざかる向き」= $- Q$ へ向かう向き、 $- Q$ の電場は「 $- Q$ に引き込まれる向き」=やはり $- Q$ へ向かう向き——2 本は同じ向きで強め合う。

① 各電荷の電場。 中点までの距離は $r = 0.15 m$ :

$E_{1} = E_{2} = \frac{9.0 \times 1 0 ^{9} \times 1.0 \times 1 0 ^{- 6}}{0.1 5 ^{2}} = 4.0 \times 1 0^{5} N/C$

② 合成。 同じ向きだから単純に足して

$E = E_{1} + E_{2} = 8.0 \times 1 0^{5} N/C (+ Q から - Q へ向かう向き)$

中点では両電荷の電場が同じ向き(+から−へ)にそろう

まとめ 「同符号の中点では打ち消し(前問の $E = 0$ 型)、異符号の中点では強め合い」——符号の組で結果が正反対になる。電気力線の絵とも整合する: $+$ から $-$ へ向かう力線が中点付近に密に束ねられている——あの密集が $8.0 \times 1 0^{5}$ という強さの視覚化である。

答

各電荷からの電場はどちらも「 $+$ から $-$ へ」の同じ向きで、 $E_{1} = E_{2} = \frac{9.0 \times 1 0 ^{9} \times 1.0 \times 1 0 ^{- 6}}{0.1 5 ^{2}} = 4.0 \times 1 0^{5}$ 。合成 $E = 8.0 \times 1 0^{5} N/C$ 、正電荷から負電荷へ向かう向き

別解

電気力線の絵から向きだけ先に読むルート。 $\pm Q$ の力線は $+$ から出て $-$ に吸い込まれる——中点を通る力線は軸に沿ってまっすぐ $- Q$ へ向かう。向きは計算前に力線で確定し、あとは大きさだけ計算する、という分業にすると符号ミスが激減する。

「向きは絵で、大きさは式で」——重ね合わせ問題の実戦的な作法である。

ポイント

まず矢印 2 本(向きの判定)
異符号の中点=同じ向きで加算
力線の密集=強い電場

よくある間違い

逆向きとして引き算する
r に 0.30 を使う
向きを書き忘れる