物理 / 電場と電位

2 層の誘電体 — 先に壊れるのはどちらか

最難関編誘電体直列絶縁破壊

問題

面積 $S = 0.010 m^{2}$ の 2 枚の極板を間隔 $2.0 \times 1 0^{- 3} m$ で向かい合わせ、その間を厚さ $1.0 \times 1 0^{- 3} m$ ずつの 2 層で満たす。下の層は比誘電率 $ε_{r} = 4.0$ の誘電体、上の層は空気(比誘電率 $1.0$ )である。

真空の誘電率を $ε_{0} = 8.85 \times 1 0^{- 12} F/m$ とし、空気の絶縁破壊の電場を $3.0 \times 1 0^{6} V/m$ 、誘電体の絶縁破壊の電場を $1.0 \times 1 0^{7} V/m$ とする。

極板間を 2 層で満たす。下の層だけが誘電体である。

(1) この装置の電気容量を求めよ。

(2) 極板間に $1000 V$ をかけたとき、各層にかかる電圧を求めよ。

(3) 各層の電場の強さを求め、その比が何で決まるかを述べよ。

(4) 電圧を上げていくと、どちらの層が先に絶縁破壊するか。またそのときの極板間の電圧を求めよ。

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2 層はどのようなつなぎ方に相当するか。直列で共通なのは電圧か、電荷か。壊れるかどうかを決めるのは、電圧そのものか、それとも別の量か。

解答・解説

方針

2 つの層は直列につないだ 2 個のコンデンサーとみなせる。直列では電荷が共通なので、電圧は容量の逆比に分かれる。電場は電圧を厚さで割れば出る。絶縁破壊は「電場」が限界を超えたときに起きるので、電圧が小さい層でも安心はできない。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「電圧が大きくかかる層のほうが危ない」と考えたくなるが、絶縁破壊を決めるのは電場であって電圧ではない。

2 つの層は直列のコンデンサーである。直列では電荷が共通で、電圧は容量の逆比に分かれる。誘電体を入れた層は容量が大きいので、電圧の分け前は少ない。

その結果、電場も層によって違う。どちらが危ないかは、この電場の比で決まる。

① 電気容量。 各層の容量は

$C_{1} = \frac{ε _{0} ε _{r} S}{d _{1}} = \frac{8.85 \times 1 0 ^{- 12} \times 4.0 \times 0.010}{1.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 3.54 \times 1 0^{- 10} F$

$C_{2} = \frac{ε _{0} S}{d _{2}} = \frac{8.85 \times 1 0 ^{- 12} \times 0.010}{1.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 8.85 \times 1 0^{- 11} F$

直列だから

公式直列の合成

\frac{1}{C} = \frac{1}{C _{1}} + \frac{1}{C _{2}}

(電荷が共通)

$C = \frac{C _{1} C _{2}}{C _{1} + C _{2}} = \frac{3.54 \times 1 0 ^{- 10} \times 8.85 \times 1 0 ^{- 11}}{4.425 \times 1 0 ^{- 10}} = 7.08 \times 1 0^{- 11} F \approx 71 pF$

② 各層の電圧。 電荷は共通で

$Q = C V = 7.08 \times 1 0^{- 11} \times 1000 = 7.08 \times 1 0^{- 8} C$

$V_{1} = \frac{Q}{C _{1}} = \frac{7.08 \times 1 0 ^{- 8}}{3.54 \times 1 0 ^{- 10}} = 200 V, V_{2} = \frac{Q}{C _{2}} = 800 V$

合計すると $1000 V$ で、つじつまが合っている。容量の大きい誘電体の層のほうが、電圧の分け前が小さい。

③ 電場。 電場は電圧を厚さで割ればよい。

$E_{1} = \frac{200}{1.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 2.0 \times 1 0^{5} V/m, E_{2} = \frac{800}{1.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 8.0 \times 1 0^{5} V/m$

比は $E_{2} : E_{1} = 4 : 1$ で、比誘電率の逆比になっている。

理由は、どちらの層も同じ電荷 $Q$ を極板にもつからである。誘電体の中では分極が電場を打ち消すので、同じ電荷でも電場は $\frac{1}{ε _{r}}$ に弱くなる。

電位の変化(横軸は下の極板からの距離 mm)。傾きが電場で、空気の層のほうが 4 倍急である。

④ 先に壊れる層。 電圧を上げると、各層の電場は同じ割合で大きくなる。空気の層のほうが電場が $4$ 倍強いので、先に限界に達する。

空気の電場が $3.0 \times 1 0^{6} V/m$ になるとき、空気の層の電圧は

$V_{2} = 3.0 \times 1 0^{6} \times 1.0 \times 1 0^{- 3} = 3000 V$

このとき誘電体の層は $\frac{1}{4}$ の電場だから

$V_{1} = \frac{3000}{4} = 750 V$

$V = V_{1} + V_{2} = 3750 V$

参考までに、誘電体が壊れるのは $E_{1} = 1.0 \times 1 0^{7} V/m$ のときで、そのとき全体の電圧は $5.0 \times 1 0^{4} V$ になる。空気の $3750 V$ よりはるかに大きいので、やはり空気が先に壊れる。

まとめ 直列では電圧が容量の逆比、電場は比誘電率の逆比に分かれる。絶縁破壊を決めるのは電場なので、「電圧の分け前が少ない層」が安全とは限らない。

発展 — 一歩先へ。 ここで見たことは、実際の設計で重要な意味をもつ。高電圧の機器では、絶縁体の中にわずかな空気のすき間(ボイド)が残ることがある。

そのすき間は比誘電率が小さいので電場が集中し、しかも空気は絶縁破壊の電場が低い。だからそこだけで放電が始まり、少しずつ絶縁体を傷めていく。これが部分放電とよばれる劣化の原因である。

「一番弱いところが全体の耐圧を決める」という点で、鎖の強さが最も弱い輪で決まるのと同じ構造をしている。

答

$C = 71 pF$ 、誘電体側 $200 V$ ・空気側 $800 V$ 、電場は $2.0 \times 1 0^{5}$ と $8.0 \times 1 0^{5} V/m$ で比は比誘電率の逆比、空気が先に壊れて全体の電圧は $3750 V$

別解

電気力線の本数(電束密度)で見るルート。 電圧の計算をせずに、電場の比だけをすぐに出す方法がある。

極板の電荷は共通なので、極板から出る電気力線の本数はどの層でも同じである。この「単位面積あたりの本数」にあたる量を $D$ とすると

$D = ε_{0} ε_{r} E$

の関係がある。 $D$ が層によらず一定だから

$ε_{r1} E_{1} = ε_{r2} E_{2} ⟹ \frac{E _{2}}{E _{1}} = \frac{ε _{r1}}{ε _{r2}} = 4$

これで ③ の答えが 1 行で出る。あとは厚さを掛けて電圧に直せばよい。

$V_{1} : V_{2} = E_{1} d_{1} : E_{2} d_{2} = 1 : 4$

合計が $1000 V$ だから $200 V$ と $800 V$ である。

容量を計算せずに済むのが利点で、層が 3 つ以上に増えても同じように扱える。「共通なのは何か」を見抜くと、直列の問題はいつも短くなる。

ポイント

2 層は直列のコンデンサー。共通なのは電荷
電圧は容量の逆比、電場は比誘電率の逆比に分かれる
絶縁破壊を決めるのは電圧でなく電場
電場が集中する空気の層が先に壊れる(全体の耐圧を決める)

よくある間違い

2 層を並列と考えて容量を足してしまう(重ねてあるので直列)
電圧が大きい層が先に壊れると決めつける(厚さで割った電場で比べる)
誘電体を入れると電場が強くなると思う(同じ電荷なら弱くなる)