物理 / 電場と電位

電位差による加速(エネルギー保存)

★★ 標準電位エネルギー保存

問題

質量 $3.0 \times 1 0^{- 4} kg$ 、電荷 $2.0 \times 1 0^{- 6} C$ の小球を、電位 $300 V$ の点に静かに置いたところ、電場から力を受けて動き出した。電位 $0 V$ の点を通過するときの速さを求めよ(重力は無視する)。

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電子の加速(基礎)とまったく同じ型で、スケールがマクロになっただけだ。位置エネルギー qV の減りが運動エネルギーになる、とエネルギー保存を 1 行で書こう。

解答・解説

方針

電位差 300 V で qV=6.0×10⁻⁴ J の仕事→全部運動エネルギー。v=√(2K/m)=2.0 m/s。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「電位の坂を転がり落ちる」問題は、途中の力や加速度を追わずエネルギー保存 1 本で結ぶ。落体を $m g h = \frac{1}{2} m v^{2}$ で解くのと同じ方針である。

① エネルギー保存。

$q (V_{始} - V_{終}) = \frac{1}{2} m v^{2}$

$2.0 \times 1 0^{- 6} \times 300 = 6.0 \times 1 0^{- 4} J$

② 速さ。

$v = \frac{2 \times 6.0 \times 1 0 ^{- 4}}{3.0 \times 1 0 ^{- 4}} = 4.0 = 2.0 m/s$

まとめ電場が一様か複雑かに関係なく、始点と終点の電位差だけで答えが出る。静電気力が保存力だからである。 $q V$ と $m g h$ 、 $\frac{1}{2} m v^{2}$ は同じ表に並ぶ。力学のエネルギー保存の表に「電気の位置エネルギー $q V$ 」という 1 列が加わった、と整理するのが見通しがよい(重力もはたらく問題では $m g h$ と $q V$ を並べて書くだけ)。

答

$q V = \frac{1}{2} m v^{2}$ より $v = \frac{2 q V}{m} = \frac{2 \times 6.0 \times 1 0 ^{- 4}}{3.0 \times 1 0 ^{- 4}} = 4.0 = 2.0 m/s$

別解

電子の加速との縮尺比較ルート。 同じ 300 V でも、電子( $m \sim 1 0^{- 30} kg$ )なら $1 0^{7} m/s$ 級、この小球( $1 0^{- 4} kg$ )は $2.0 m/s$ になる。質量は 26 桁違うが電荷も違うので、速さの差は $q / m$ の比で決まり、7 桁ほどになる。

「同じ式・違うスケール」を並べて見ると、比電荷 $\frac{q}{m}$ という量が速さを決めていることが分かる。原子分野では、電子の比電荷の測定が重要になる。

ポイント

エネルギー保存 1 本(途中は見ない)
qV は mgh と同じ列に置く
v∝√(q/m)(比電荷)

よくある間違い

2 を落として √(qV/m) とする
力と加速度から等加速度で解こうとして迷子になる
電位と電位差を取り違える