正三角形の頂点での合成電場

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 電場はベクトル——大きさを出してから、幾何(なす角)で合成する 2 段構えである。対称な配置では「合成の向きは対称軸方向」と先に見抜けると、成分計算が半分省ける。

① 各電荷の電場。 P までの距離はどちらも 1 辺の $0.30\mathrm{m}$:

$$E_1=E_2=\frac{9.0\times 10^9\times 1.0\times 10^{-6}}{0.30^2}=1.0\times 10^{5}N/C$$

向きは「各電荷から P へ遠ざかる」向き——2 本のなす角は正三角形の頂角と同じ $60°$ である。

② 合成。 同じ大きさ・なす角 $60°$ の 2 ベクトルの合成は、対称軸方向に

$$E=2E_1\cos 30°=2\times 1.0\times 10^5\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\times 1.0\times 10^5=1.7\times 10^{5}N/C$$

向きは底辺(2 電荷を結ぶ辺)に垂直で、三角形から遠ざかる外向き(対称性から横成分は打ち消し合う)。

まとめ 「大きさは公式、向きは幾何」——電場の合成は力の合成(力学)と完全に同じ作法である。同大 2 ベクトル・なす角 $\theta$ の合成 $2E\cos \frac{\theta }{2}$ は頻出の型($60°$ なら $\sqrt{3}$ 倍、$90°$ なら $\sqrt{2}$ 倍、$120°$ なら等倍)——3 つの特別角をセットで覚えておくと速い。

別解

成分計算で検算するルート。 電荷を $(\pm 0.15,0)$、P を $(0,0.15\sqrt{3})$ に置く。対称性で $x$ 成分は消え、$y$ 成分は

$$E_y=2\times E_1\times \frac{0.15\sqrt{3}}{0.30}=2E_1\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}{E}_1✓$$

幾何の合成(ひし形の対角線)と成分計算——2 つの方法が一致することを一度確かめておくと、対称性が崩れた配置(電荷の大きさが違う等)でも成分計算に安心して切り替えられる。