電流と磁場 — 磁場・電磁力・ローレンツ力

十分に長いまっすぐな導線に $6.28\mathrm{A}$ の電流を流した。導線から $0.10\mathrm{m}$ 離れた点での磁場の強さ $H$ を求めよ。$\pi =3.14$ とする。

半径 $0.10\mathrm{m}$ の円形コイル(1 巻き)に $4.0\mathrm{A}$ の電流を流した。円の中心での磁場の強さ $H$ を求めよ。

1 m あたり $1000$ 回巻いたソレノイド(長い円筒コイル)に $2.0\mathrm{A}$ の電流を流した。ソレノイド内部の磁場の強さ $H$ を求めよ。また、この磁場は内部のどこでどうなっているか。

磁束密度 $0.50\mathrm{T}$ の一様な磁場の中に、磁場と垂直に $0.20\mathrm{m}$ の導線を置き、$2.0\mathrm{A}$ の電流を流した。導線が受ける力の大きさを求めよ。また、力の向きの決め方を述べよ。

磁束密度 $0.50\mathrm{T}$ の一様な磁場の中に $0.20\mathrm{m}$ の導線を置き、$2.0\mathrm{A}$ の電流を流す。導線が磁場と $30°$ の角をなすとき、導線が受ける力の大きさを求めよ。

磁束密度 $0.50\mathrm{T}$ の一様な磁場の中を、電気量 $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ の荷電粒子が磁場と垂直に速さ $2.0\times 10^{6}m/s$ で運動している。この粒子が受ける力(ローレンツ力)の大きさを求めよ。

磁束密度 $0.50\mathrm{T}$ の一様な磁場に垂直に、電子(質量 $9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、電気量の大きさ $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$)が速さ $2.0\times 10^{6}m/s$ で入射した。電子が描く円運動の半径を求めよ。

前問の電子の円運動について、周期 $T$ を求めよ。また、周期が速さ $v$ によらないことを示せ。$m=9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、$q=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$、$B=0.50\mathrm{T}$、$\pi =3.14$ とする。

磁束密度 $0.50\mathrm{T}$ の一様な磁場に垂直に、面積 $2.0\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^2$ のコイルを置いた。このコイルを貫く磁束 $\Phi$ を求めよ。また、コイルを磁場と平行に(磁力線が面をかすめるように)置くと磁束はどうなるか。

$0.20\mathrm{m}$ 離れた 2 本の平行な直線導線に、同じ向きに $10\mathrm{A}$ ずつの電流を流した。導線 1 m あたりにはたらく力の大きさを求め、引き合うか反発するかを答えよ。真空の透磁率を ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}N/{\mathrm{A}}^2$ とする。

磁場の強さ $H=2.0\times 10^{3}A/m$ の真空中の磁場について、磁束密度 $B$ を求めよ。真空の透磁率を ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}N/{\mathrm{A}}^2$、$\pi =3.14$ とする。

次の各場合の磁場または力の向きを、右ねじの法則・フレミングの左手の法則を使って答えよ。(1) 紙面手前向きの直線電流のまわりの磁場は、時計回りか反時計回りか。 (2) 紙面内で右向きの電流を、紙面手前から奥へ向かう磁場に置いたとき、電流が受ける力の向き。

$0.20\mathrm{m}$ 離れた 2 本の平行な直線導線に、互いに逆向きに $10\mathrm{A}$ ずつの電流を流した(1 本は紙面手前向き $\odot$、もう 1 本は奥向き $\otimes$)。2 本の中点での合成磁場の強さを求めよ。$\pi =3.14$ とする。

水平面上の一様な鉛直下向きの磁場(磁束密度 $B$)の中に、質量 $m$、長さ $L$ の導体棒を水平に置き、電流 $I$ を流す。棒が受ける力の向きと、棒が水平面上をすべり出すために必要な電流の条件を、静止摩擦係数 $\mu$ を使って述べよ。

一様な磁場(磁束密度 $0.50\mathrm{T}$、紙面に垂直で奥向き)の中に、半径 $0.10\mathrm{m}$ の半円形に曲げた導線を紙面内に置き、$2.0\mathrm{A}$ の電流を流した。この半円部分(直径の両端を結ぶ)が磁場から受ける力の大きさと向きを求めよ。

静止した陽子(質量 $1.67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、電気量 $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$)を電位差 $1000\mathrm{V}$ で加速し、磁束密度 $0.20\mathrm{T}$ の一様な磁場に垂直に入射させた。(1) 加速後の速さ (2) 円運動の半径 を求めよ。$\sqrt{1.92\times 10^{11}}=4.38\times 10^5$ とする。

電子を電位差 $200\mathrm{V}$ で加速し、磁束密度 $2.0\times 10^{-3}\mathrm{T}$ の一様な磁場に垂直に入射させたところ、半径 $2.4\times 10^{-2}\mathrm{m}$ の円を描いた。電子の比電荷 $\frac{e}{m}$ を求めよ。

サイクロトロン(円形加速器)の中で、陽子(質量 $1.67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、電気量 $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$)が磁束密度 $0.50\mathrm{T}$ の磁場中を回っている。(1) 回転の振動数(サイクロトロン振動数)を求めよ。 (2) サイクロトロンで粒子を加速し続けられるのはなぜか。円運動の周期の性質から説明せよ。$\pi =3.14$ とする。

水平面上に間隔 $0.20\mathrm{m}$ の 2 本の平行な導体レールを敷き、その上に導体棒を垂直に渡す。鉛直上向きの一様な磁場(磁束密度 $0.50\mathrm{T}$)をかけ、棒に $2.0\mathrm{A}$ の電流を流した。(1) 棒が受ける力の大きさと向き (2) 棒の質量が $0.10\mathrm{kg}$、レールとの動摩擦係数が $0.10$ のとき、棒はどう運動するか。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

一様な磁場(磁束密度 $0.50\mathrm{T}$)の中に、面積 $2.0\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^2$ の長方形コイル($10$ 巻き)を置き、$1.0\mathrm{A}$ の電流を流す。コイルの面が磁場に平行なとき、コイルにはたらく力のモーメント(トルク)の大きさを求めよ。また、コイルはどう動くか。

互いに垂直な電場と磁場が重なった領域に、両方に垂直に荷電粒子を打ち込む。電場の強さ $E=1000V/m$、磁束密度 $B=0.020\mathrm{T}$ のとき、まっすぐ進む(電気力とローレンツ力がつり合う)粒子の速さを求めよ。また、この装置が「速度選択器」と呼ばれる理由を述べよ。

同一平面上に等間隔 $0.10\mathrm{m}$ で 3 本の平行な直線導線 A・B・C を並べ、すべて同じ向きに電流を流す。A・C には $10\mathrm{A}$、真ん中の B には $10\mathrm{A}$ を流したとき、B が受ける力の合力を求めよ。真空の透磁率を ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}N/{\mathrm{A}}^2$ とする。

一様な磁場(磁束密度 $B$、$x$ 軸方向)に、速さ $3.0\times 10^{6}m/s$ の荷電粒子が、磁場と $60°$ の角をなす向きに入射した。(1) 粒子の速度を、磁場に平行な成分と垂直な成分に分けよ。 (2) 粒子はどんな運動をするか。それぞれの成分がどう振る舞うかとあわせて述べよ。

傾き $30°$ のなめらかな斜面上に、水平な導体棒(質量 $0.010\mathrm{kg}$、長さ $0.20\mathrm{m}$)を置く。鉛直上向きの一様な磁場(磁束密度 $0.50\mathrm{T}$)をかけ、棒に適切な向きの電流を流して斜面上で静止させたい。必要な電流の大きさを求めよ。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

電荷 $q=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ のイオンを電位差 $V=1000\mathrm{V}$ で加速し、磁束密度 $B=0.20\mathrm{T}$ の一様な磁場に垂直に入射させて半円を描かせ、入射点から距離 $2r$ の所で検出する。(1) 質量 $m$ を $q,V,B,r$ で表せ。 (2) 半径 $2.0\mathrm{cm}$ で検出されたイオンの質量を求めよ。 (3) このイオンと、質量が $1\%$ 大きい同位体は、検出位置がどれだけ離れるか。

サイクロトロンで陽子(質量 $1.67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、電気量 $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$)を加速する。磁束密度 $B=0.50\mathrm{T}$、ディーの半径(最大半径)$R=0.50\mathrm{m}$ とする。(1) 陽子が最大半径に達したときの速さ (2) そのときの運動エネルギー を求めよ。

厚さ $d=1.0\times 10^{-3}\mathrm{m}$ の金属板に、板面に平行に電流 $I=1.0\mathrm{A}$ を流し、板面に垂直に磁束密度 $B=0.50\mathrm{T}$ の磁場をかける。金属中の自由電子(電気量の大きさ $e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$、密度 $n=1.0\times 10^{28}/{\mathrm{m}}^3$)は磁場から力を受け、板の側面間に電位差(ホール電圧)が生じる。このホール電圧 $V_H$ を求めよ。ただし板の幅を $w$ とすると $V_H=\frac{IB}{ned}$ となることを使ってよい。

$0.30\mathrm{m}$ 離れた平行な 2 直線導線 A・B に、同じ向きに電流を流す。A には $I_A$、B には $I_B$ を流す。(1) $I_A=I_B$ のとき、2 本の間で合成磁場が 0 になる点の位置を求めよ。 (2) $I_A=2I_B$ のとき、磁場が 0 になる点は A から何 m の位置か。

一様な磁場(磁束密度 $B=0.10\mathrm{T}$)に、電子(質量 $9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、電気量 $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$)が、磁場と $60°$ の角をなす向きに速さ $3.0\times 10^{6}m/s$ で入射した。(1) 円運動の周期 (2) らせん 1 巻きで磁場方向に進む距離(ピッチ) を求めよ。$\pi =3.14$、$\cos 60°=0.50$ とする。

水平面上に間隔 $0.20\mathrm{m}$ のレールを敷き、質量 $0.10\mathrm{kg}$ の導体棒を渡す。鉛直上向きの磁場(磁束密度 $0.50\mathrm{T}$)をかけ、棒に $2.0\mathrm{A}$ の電流を流した。レールと棒の静止摩擦係数を $0.30$ とする。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。(1) 棒が受ける磁場の力 (2) 棒は動くか。動かない場合、棒にはたらく摩擦力の大きさを求めよ。

水平に固定した導線 A の真上 $1.0\times 10^{-2}\mathrm{m}$ に、同じ向きに電流を流した導線 B(1 m あたりの質量 $8.0\times 10^{-4}kg/m$)を平行に置く。A・B に等しい電流 $I$ を流したとき、B にはたらく電流間の引力が B の重力とつり合って浮いた。この電流 $I$ を求めよ。${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}N/{\mathrm{A}}^2$、$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

図のように、境界 $x=0$ より右側($x>0$)だけに一様な磁場(磁束密度 $0.50\mathrm{T}$、紙面奥向き)がある。左側($x<0$)は磁場が無い。境界に垂直($+x$ 方向)に、電子(質量 $9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、電気量 $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$)が速さ $2.0\times 10^{6}m/s$ で入射した。(1) 電子は磁場領域でどんな軌道を描き、どこから出てくるか。 (2) 入射点から、出てきた点までの距離を求めよ。

サイクロトロンは、一様な磁束密度 $B=0.50\mathrm{T}$ の磁場の中に置かれた 2 つの D 字形電極(ディー)と、そのすきまにかけた高周波電圧からなる。荷電粒子はすきまを通るたびに電圧 $V=1.0\times 10^5\mathrm{V}$ で加速され、ディーの内部では磁場だけを受けて半円を描く。

陽子が中心付近で速さがほぼ $0$ の状態から出発し、軌道半径が $R=0.40\mathrm{m}$ に達したところで取り出される。陽子の質量を $1.6\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、電気量を $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とし、すきまを通過する時間は無視する。

(1) ディーの中を回る陽子の周期を求めよ。またそれが速さによらないことを、式を用いて示せ。

(2) $n$ 回目の加速を終えた直後の軌道半径 $r_n$ が $\sqrt{n}$ に比例することを示せ。

(3) 取り出すまでに何回の加速が必要か。またそのときの運動エネルギーを、J と MeV の両方で答えよ。

(4) 出発から取り出しまでにかかる時間を求めよ。また、軌道半径が最大の半分になるのは、この時間のうち何 $\%$ が過ぎたときか。

たがいに垂直な一様電場と一様磁場がある。電場は鉛直上向きで、強さは $E=1.0\times 10^{4}V/m$ である。磁場は紙面の裏から表へ向かう向きで、磁束密度は $B=0.10\mathrm{T}$ である。

この中に、質量 $m=1.6\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、電気量 $q=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ の正の粒子を、静止した状態で置く。重力は無視する。

(1) 粒子の速度を、一定のベクトル $\vec{u}$ と残りの $\vec{w}$ の和 $\vec{u}+\vec{w}$ と書く。粒子が受ける力が「$\vec{w}$ が磁場から受ける力」だけになるような $\vec{u}$ の向きと大きさを求めよ。

(2) (1) の分解を使って、この運動が「一定の速度の運動」と「等速円運動」の重ね合わせであることを示し、円の半径を求めよ。

(3) 粒子の速さの最大値と、そのときの粒子の高さ(出発点からの高さ)を求めよ。

(4) 粒子が出発点と同じ高さにもどるのは何秒後か。またそのとき水平方向に何 m 進んでいるか。

直線の境界より下側だけに、紙面の表から裏へ向かう一様な磁場がある。境界上の点 S から、同じ速さの正の粒子が下向きに打ちこまれる。粒子は磁場の中で円を描き、境界にもどってくる。

打ちこむ向きが境界に垂直な向きからずれる角を $\alpha$ とする。どの粒子も軌道半径は $r=0.20\mathrm{m}$ である。

(1) $\alpha =0$ の粒子が境界にもどる位置は、S から何 m のところか。

(2) 一般の $\alpha$ について、もどる位置が S から $2r\cos \alpha$ の距離であることを示せ。

(3) $\alpha =\pm 10^{\circ }$ の粒子は、$\alpha =0$ の粒子のもどる位置から何 mm ずれるか。$\cos 10^{\circ }=0.9848$ とする。

(4) もし到達点のずれが $\alpha$ の 1 次に比例していたとすると、そのずれの目安は $2r\alpha$ である($\alpha$ はラジアン)。(3) の答えと比べて、この装置が「打ちこむ向きが多少ばらついても 1 点に集まる」といえる理由を説明せよ。

半径 $R=0.10\mathrm{m}$、巻数 $n=100$ の円形コイル 2 つを同じ軸上に間隔 $d$ で向かい合わせに置き、どちらにも同じ向きに電流 $I=2.0\mathrm{A}$ を流す。

1 つのコイルが軸上につくる磁束密度は、コイルの中心から軸方向に $x$ だけ離れた点で

$$B(x)=\frac{{\mu }_{0}nI{R}^2}{2{\left(R^2+x^2\right)}^{3/2}}$$

である。${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}N/{\mathrm{A}}^2$ とする。

(1) 2 つのコイルの中点における磁束密度を、$d$ を用いて表せ。

(2) 中点では、軸方向の位置についての磁束密度の変化率(1 階微分)が $0$ になる。その理由を述べよ。

(3) 中点のまわりで磁束密度を位置の 2 次まで展開したとき、2 次の項の係数が $0$ になる間隔 $d$ を求めよ。

(4) (3) の間隔にしたときの、中点の磁束密度の値を求めよ。

長い直線状の導線に電流 $I_1=10\mathrm{A}$ が流れている。同じ平面上に長方形のコイルを置き、電流 $I_2=5.0\mathrm{A}$ を流す。

長方形のうち直線と平行な 2 辺の長さは $L=0.20\mathrm{m}$ で、直線から近いほうの辺までの距離は $a=0.10\mathrm{m}$、遠いほうの辺までは $b=0.20\mathrm{m}$ である。近いほうの辺を流れる電流の向きは、直線電流と同じ向きである。$\frac{{\mu }_0}{2\pi }=2.0\times 10^{-7}N/{\mathrm{A}}^2$ とする。

(1) 直線電流が、近いほうの辺の位置につくる磁束密度を求めよ。

(2) 近いほうの辺と遠いほうの辺が受ける力の大きさと向きを、それぞれ求めよ。

(3) 直線と垂直な 2 辺が受ける力の合計はどうなるか。理由とともに述べよ。

(4) コイル全体が受ける力の大きさと向きを求めよ。また、その結果を $I_1,I_2,L,a,b$ で表せ。

半径 $R=0.10\mathrm{m}$、巻数 $n=10$ の円形コイルを、その面が地磁気の水平成分と平行になるように鉛直に立てる。コイルの中心には、水平面内で自由に回れる小さな方位磁針を置く。電流を流していないとき、方位磁針はコイルの面と平行を向いて静止している。

コイルに電流 $I=0.50\mathrm{A}$ を流したところ、方位磁針は $\theta =45^{\circ }$ 振れて静止した。${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}N/{\mathrm{A}}^2$ とする。

(1) コイルが中心につくる磁束密度を求めよ。

(2) 地磁気の水平成分の大きさを求めよ。

(3) 電流を変えて振れ角を測るとき、$\tan \theta$ が電流に比例することを示せ。

(4) 角度の読み取りの誤差 $\Delta \theta$ の大きさが振れ角によらず一定だとすると、電流の測定の相対誤差 $\frac{\Delta I}{I}$ が最も小さくなるのは振れ角がいくらのときか。

半径 $a=0.10\mathrm{m}$ の円形の領域の内部だけに、紙面の表から裏へ向かう一様な磁場(磁束密度 $B$)がある。領域の外には磁場がない。

質量 $m=1.6\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、電気量 $q=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ の正の粒子が、速さ $v=1.0\times 10^{6}m/s$ で、領域の中心に向かって境界に入射する。

(1) 領域の内部での軌道半径 $r$ を、$m,v,q,B$ で表せ。

(2) 粒子が領域から出るとき、入射の向きから曲がる角を $\theta$ とする。$\tan \frac{\theta }{2}=\frac{a}{r}$ となることを示せ。

(3) $\theta =90^{\circ }$ にするための磁束密度を求めよ。

(4) 磁束密度を (3) のままにして、速さが $2$ 倍の粒子を同じように入射させると、曲がる角は何度になるか。$\tan 26.6^{\circ }=0.50$ を用いてよい。

断面が一辺 $1.0\mathrm{mm}$ の正方形(断面積 $S=1.0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$)、長さ $L=0.50\mathrm{m}$ のまっすぐな銅線に、電流 $I=5.0\mathrm{A}$ を流す。この銅線を、電流に垂直な一様磁場(磁束密度 $B=0.20\mathrm{T}$)の中に置く。

銅の自由電子の数密度を $n=8.5\times 10^{28}/{\mathrm{m}}^3$、電気量の大きさを $e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。

(1) 自由電子の平均の速さを求めよ。

(2) 銅線内のすべての自由電子が磁場から受ける力の合計を求め、$IBL$ と一致することを確かめよ。

(3) 電子は銅線の外へは出られないので、磁場から力を受けた電子は断面の片側に寄る。電子の流れが定常になったとき、断面内に生じている電場(ホール電場)の強さを求めよ。

(4) (3) の電場が、銅線内の正電荷(金属イオン)を押す力を求めよ。その結果をもとに、電子が受けた力が銅線全体にどのように伝わるかを説明せよ。