半回転で 1 点に集まる(方向集束)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「半回転してもどる」という言葉につられて、いつも $2r$ 進むと決めつけると、この問題の面白さが消える。

軌道の円の中心は、入射の向きに垂直な方向へ $r$ だけ離れた点にある。入射の向きが傾けば、中心も傾いて動く。

境界と円の交点は中心の位置だけで決まるから、中心を $\alpha$ で表せば答えが出る。そして出てきた式に $\cos$ が現れることが、この装置の値打ちにつながる。

① まっすぐ打ちこんだ場合。 $\alpha =0$ なら中心は境界上にあり、S から $r$ の位置である。円は境界と 2 点で交わり、その距離は直径に等しい。

$$2r=0.40\mathrm{m}$$

② 一般の角で打ちこんだ場合。 S を原点、境界を $x$ 軸、磁場のある側を $y<0$ とする。入射の速度が $y$ 軸の負の向きから角 $\alpha$ 傾いているとき、円の中心は速度に垂直な向きに $r$ だけ離れた点だから

$$\text{中心}=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )$$

円の式に $y=0$ を代入する。

$$(x-r\cos \alpha {)}^2+(0-r\sin \alpha {)}^2=r^2$$

$$(x-r\cos \alpha {)}^2=r^2(1-{\sin }^2\alpha )=r^2{\cos }^2\alpha$$

$$x=r\cos \alpha \pm r\cos \alpha$$

$x=0$(出発点 S)ともう 1 つの交点

$$x=2r\cos \alpha$$

が得られる。

③ ずれの大きさ。 $\alpha =10^{\circ }$ のとき

$$2r-2r\cos 10^{\circ }=2\times 0.20\times (1-0.9848)=0.40\times 0.0152=6.1\times 10^{-3}\mathrm{m}$$

約 $6.1\mathrm{mm}$ である。$\cos$ は偶関数なので、$\alpha =-10^{\circ }$ でも同じ側に同じだけずれる。

④ なぜ 1 点に集まるといえるか。 もしずれが $\alpha$ の 1 次で効いていたら

$$2r\alpha =0.40\times \frac{10\times 3.14}{180}\approx 7.0\times 10^{-2}\mathrm{m}=70\mathrm{mm}$$

程度になるはずである。実際のずれ $6.1\mathrm{mm}$ はその約 $\frac{1}{11}$ しかない。

理由は式の形にある。$\cos \alpha$ は $\alpha$ の偶関数で、$\alpha$ が小さいとき

$$1-\cos \alpha \approx \frac{{\alpha }^2}{2}$$

と 2 次からしか効かない。1 次の項が消えているので、多少の角のばらつきは大きく圧縮される。これを方向集束という。

まとめ 「半回転して 2 点で交わる」という単純な幾何から $2r\cos \alpha$ が出る。$\cos$ が偶関数であること、それだけが方向集束の正体である。

発展 — 一歩先へ。 これが $180^{\circ }$ 偏向型の質量分析器で使われる幾何である。イオン源から出るイオンの向きは細かくばらつくが、半回転させると同じ場所に集まるので、細いスリットで受けられる。

ただし集まるのは「向きのばらつき」に対してだけである。速さがばらつくと $r$ 自体が変わり、こちらは 1 次で効いてしまう。だから速度選択器と組み合わせて速さをそろえてから入れる。

別解

接弦定理を使うルート。 座標を置かずに、円の性質だけで $2r\cos \alpha$ を出せる。

粒子の軌道は円で、S と到達点を結ぶ線分(境界に沿う線)はその円の弦である。入射の速度の向きは、S における円の接線の向きに等しい。

弦と入射方向のなす角は、入射が法線から $\alpha$ 傾いているので $90^{\circ }-\alpha$ である。円周角と中心角の関係から、この弦の中心角は $2(90^{\circ }-\alpha )=180^{\circ }-2\alpha$ となる。

中心角 $\phi$ の弦の長さは $2r\sin \frac{\phi }{2}$ だから

$$2r\sin \left(90^{\circ }-\alpha \right)=2r\cos \alpha$$

座標計算をしなくても、図形の定理 1 本で同じ式に到達できる。円運動の問題は「弦・中心角・接線」の言葉に翻訳すると、こうして幾何の道具が使えるようになる。