直線電流が長方形コイルを引く力

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 閉じた回路を一様な磁場の中に置くと、各辺が受ける力は打ち消し合って合計は $0$ になる(向きを変えるはたらきだけが残る)。

ところが直線電流のつくる磁場は $\frac{1}{r}$ で弱くなる。場所によって強さが違うので、近い辺と遠い辺で受ける力の大きさが違う。この差が正味の力になる。

だから方針は「4 辺を 1 つずつ調べ、消える分と残る分を仕分ける」である。

① 近い辺の位置の磁束密度。

$$B_a=\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi a}=2.0\times 10^{-7}\times \frac{10}{0.10}=2.0\times 10^{-5}\mathrm{T}$$

② 平行な 2 辺が受ける力。 電流が磁場から受ける力は $F=I_{2}BL$ である。

近いほうの辺は

$$F_a=I_2{B}_{a}L=5.0\times 2.0\times 10^{-5}\times 0.20=2.0\times 10^{-5}\mathrm{N}$$

向きは直線に近づく向き、つまり引力である。

遠いほうの辺の位置では

$$B_b=\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi b}=2.0\times 10^{-7}\times \frac{10}{0.20}=1.0\times 10^{-5}\mathrm{T}$$

$$F_b=5.0\times 1.0\times 10^{-5}\times 0.20=1.0\times 10^{-5}\mathrm{N}$$

長方形を一周する電流は、向かい合う 2 辺で向きが逆になる。近い辺が直線電流と同じ向きなら、遠い辺は逆向きである。だから遠い辺が受けるのは直線から遠ざかる向きの力、つまり斥力である。

③ 垂直な 2 辺。 この 2 辺は、直線からの距離が $a$ から $b$ まで同じように変わり、電流の向きだけが互いに逆である。

だから直線から等しい距離にある部分どうしを比べると、受ける力は大きさが同じで向きが逆になる。全体を足すと打ち消し合って $0$ である。

④ 全体が受ける力。 残るのは平行な 2 辺の差である。

$$F=F_a-F_b=2.0\times 10^{-5}-1.0\times 10^{-5}=1.0\times 10^{-5}\mathrm{N}$$

引力のほうが大きいので、コイル全体は直線に引き寄せられる。文字で書くと

$$F=\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_{2}L}{2\pi }\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$$

まとめ 力が残ったのは、磁場が場所によって違うからである。一様な磁場ならどんな形の閉回路でも合力は $0$ で、回転させるはたらきしか残らない。

発展 — 一歩先へ。 $b$ を大きくしていくと $\frac{1}{b}\to 0$ となり、力は近い辺の分だけになる。遠い辺は「無限の彼方」に行って効かなくなる、と読める。

磁石が鉄くぎを引きつけるのも、同じ理由による。一様な磁場の中では、磁石(小さな電流の輪と同じもの)は向きを変えるだけで動かない。磁場が場所によって変わるからこそ、引き寄せる力が生まれる。

別解

向きと大小関係だけで先に答えを出すルート。 数値を入れる前に、答えの形が決まってしまう見方がある。

まず向きを決める。近い辺は直線電流と同じ向きだから引力、遠い辺は逆向きだから斥力である。2 つは反対向きなので、差が残る。

次に大小を比べる。2 つの辺は長さも電流も同じで、違うのは距離だけである。磁場は $\frac{1}{r}$ だから、近いほうが必ず強い。つまり引力が勝つ。

ここまでで「コイルは直線に引き寄せられる」ことが、計算をせずに確定する。あとは差を計算するだけである。

この見方の利点は、検算になることである。もし計算の結果が斥力になったら、どこかで符号か向きを間違えている。

同じ論法で、コイルの電流を逆向きに流した場合も即座に分かる。近い辺が逆向きになるので斥力が勝ち、コイルは押しやられる。大きさは同じ $1.0\times 10^{-5}\mathrm{N}$ である。