磁場中の荷電粒子の円運動

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ローレンツ力は速度に垂直で仕事をしない——速さ一定・向きだけ変わる=等速円運動。ローレンツ力が向心力の役を演じる、と運動方程式を立てる。

① 運動方程式。 向心力 $=\frac{m{v}^2}{r}$ をローレンツ力 $qvB$ が担う:

$$qvB=\frac{m{v}^2}{r}$$

② r について解く。

$$r=\frac{mv}{qB}=\frac{9.1\times 10^{-31}\times 2.0\times 10^6}{1.6\times 10^{-19}\times 0.50}=\frac{1.82\times 10^{-24}}{8.0\times 10^{-20}}\approx 2.3\times 10^{-5}\mathrm{m}$$

まとめ 半径 $r=\frac{mv}{qB}$ は「速いほど・重いほど大きく、磁場が強いほど小さく」——直感どおりである(勢いのある粒子は大きく回り、強い磁場はきつく曲げる)。この式は質量分析器(質量を測る)・霧箱(粒子の電荷や質量を軌跡から読む)の原理そのもの——応用で本格的に使う。「円運動=向心力の運動方程式」という力学の型が、そのまま磁場でも生きる。

別解

運動量で覚えるルート。 $r=\frac{mv}{qB}=\frac{p}{qB}$——半径は運動量 $p$ に比例する。「運動量が大きいほど曲がりにくい(大きく回る)」——素粒子物理の泡箱・検出器では、飛跡の曲率半径から粒子の運動量を測る。

$mv$ を「$m$ と $v$ の積」でなく「運動量 $p$ という 1 つの量」と見ると、式の意味(勢いと曲がりにくさ)がすっきりする。