半円形の導線が受ける力

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 半円の各微小部分の力を積分……する必要はない。一様磁場では、曲線導線の受ける合力=両端を結ぶ直線導線の力——これで半円が直径 1 本に化ける。

① 直線に置き換える。 半円の両端は直径の両端——距離は $2r=0.20\mathrm{m}$。この直径方向の直線に $2.0\mathrm{A}$ が流れたとみなす:

$$F=BI(2r)=0.50\times 2.0\times 0.20=0.20\mathrm{N}$$

② 向き。 直径に垂直な向き(フレミング左手を、直径方向の等価電流に当てて決める)。

まとめ 「曲線 → 両端を結ぶ弦」の置き換えは、一様磁場ならではの強力な武器である(理由: 各部分の力のベクトル和が、経路の始点・終点だけで決まる——途中の形は相殺する)。もし閉じた回路(両端が一致)なら合力 0——一様磁場中の電流ループには正味の力がはたらかず、回転(トルク)だけが残る(次の問題)。積分せずに答えが出る、美しい定理である。

別解

成分で確かめるルート(発想の裏取り)。 半円を細かく分け、各微小部分 $\Delta L$ の力 $BI\Delta L$ をベクトルで足すと、直径に平行な成分は左右対称で打ち消し、直径に垂直な成分だけが残る。積分すると、垂直成分の合計は $BI\times (2r)$——確かに直径 $2r$ の直線の力に一致する。

定理を鵜呑みにせず「なぜ直径分になるか」を一度確かめておくと、四分円や任意形状でも自信を持って「両端の弦」を使える。