磁場に斜めに入る荷電粒子(らせん運動)

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) ローレンツ力は速度の磁場に垂直な成分にだけはたらく。だから速度を平行・垂直に分解すると、2 つの成分が独立に単純な運動をする。

① 速度の分解。

$$v_{\parallel }=v\cos 60°=3.0\times 10^6\times 0.5=1.5\times 10^{6}m/s$$

$$v_{\perp }=v\sin 60°=3.0\times 10^6\times \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 2.6\times 10^{6}m/s$$

② 運動の様子。

• 平行成分 $v_{\parallel }$: 磁場と同じ向きなのでローレンツ力を受けない → 等速直線運動(磁場方向へ一定速度で進む)
• 垂直成分 $v_{\perp }$: 磁場と垂直なので円運動

2 つが合わさり、磁場方向へ進みながら回転する=らせん(ヘリカル)運動になる。

まとめ進みながら回るので、軌道はらせんになる。磁場を軸に、コイルばねのような軌道を描く。1 巻きで進む距離(ピッチ)は $v_{\parallel }\times T$ で、応用で計算する。この運動はオーロラに関係している。太陽風の荷電粒子が地球磁場に巻きついてらせんを描き、極地方へ導かれて大気と衝突して光る。「垂直成分だけが関係する」という一言で、円運動・らせん・オーロラを同じように説明できる。

別解

極端な角度で確かめるルート。 入射角 $90°$($v_{\parallel }=0$)なら純粋な円運動(基礎)、$0°$($v_{\perp }=0$)なら力ゼロで直進する。らせんはこの 2 つの極限の中間である。角度 $\theta$ で $v_{\parallel }=v\cos \theta$、$v_{\perp }=v\sin \theta$ と連続的につながる。

特別な場合(0°・90°)で挟んで一般の場合を理解する。極限で公式の妥当性を確かめる習慣があると、初見の状況でも見通しが立つ。