3 本の平行電流にはたらく力

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 3 本の力の問題は、対称性を最初に見る。B の左右に等距離・等電流の A・C があるので、引力が左右対称で打ち消すとすぐに分かる。

① 各力の大きさ(1 m あたり)。 A も C も B と同じ向きの電流だから B と引き合う。距離はどちらも $0.10\mathrm{m}$:

$$\frac{F}{L}=\frac{{\mu }_0{I}^2}{2\pi d}=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 10^2}{2\pi \times 0.10}=2.0\times 10^{-4}N/m$$

② 合力。 A からの引力は左向き、C からの引力は右向きで、大きさが同じで逆向きなので

$$合力=0$$

まとめ 「同じ向きの電流は引き合う」が、左右対称なら打ち消して合力 0になる。対称性を見抜けば計算しなくても答えが出る。もし B の電流だけ大きさや向きを変えれば対称が崩れて合力が生じる。3 本以上の電流・電荷の問題では、まず対称性を見て、崩れていれば成分で計算する。電場の正三角形(電場の単元)と同じ手順である。B 自身が受ける力を問うので、B が A・C に及ぼす力(反作用)ではないことにも注意する。

別解

対称を崩して感覚を確かめるルート。 もし C の電流を逆向きにすると、C からは反発(左へ押される)、A からは引力(左へ引かれる)を受ける。両方左向きになって合力は $2\times 2.0\times 10^{-4}=4.0\times 10^{-4}N/m$ 左向きになる。

対称なら 0 になり、対称を崩すと足し算になる。1 つ条件を変えたらどうなるかを試すと、対称性の役割がよく分かる。2 直線電流の合成磁場と同じ「向きを描いてから足し引き」のやり方である。