加速した荷電粒子の円運動

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「電場で加速 → 磁場で円運動」の 2 段リレーである(電場と電位の単元 × この単元)。電場は速さを与え、磁場は速さを変えず曲げる——役割の違いを意識する。

① 加速後の速さ(エネルギー保存)。

$$qV=\frac{1}{2}m{v}^2⟹v=\sqrt{\frac{2qV}{m}}=\sqrt{\frac{2\times 1.6\times 10^{-19}\times 1000}{1.67\times 10^{-27}}}=\sqrt{1.92\times 10^{11}}\approx 4.4\times 10^{5}m/s$$

② 円運動の半径。

$$r=\frac{mv}{qB}=\frac{1.67\times 10^{-27}\times 4.38\times 10^5}{1.6\times 10^{-19}\times 0.20}=\frac{7.31\times 10^{-22}}{3.2\times 10^{-20}}\approx 2.3\times 10^{-2}\mathrm{m}$$

まとめ 電場と磁場が分業している——電場(加速部)でエネルギーを与え、磁場(偏向部)で軌道を曲げる。この配置がまさに質量分析器(応用)の構造である。$r=\frac{mv}{qB}=\frac{\sqrt{2mqV}}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mV}{q}}$——半径が質量の平方根に比例するので、同じ電荷・電圧・磁場でも質量の違う粒子は別の半径になる(質量を測れる原理)。

別解

r を V の式でまとめるルート。 ①②を合体すると $r=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mV}{q}}$——$v$ を経由せずに $r$ が出る。この形なら「電圧を 4 倍にすると半径は 2 倍」「質量が 4 倍なら半径 2 倍」と、各量の効き方が一目で分かる。

途中の $v$ を求めるのは検算に使い、最終式は $r=\frac{1}{B}\sqrt{2mV/q}$ で持っておくと、質量分析の問題(応用)で即戦力になる。