斜面上の導体棒のつり合い

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「電磁気の力 × 斜面のつり合い」の融合である。まず力の向き(鉛直磁場×水平電流=水平)を確定し、斜面方向でつり合いを立てる。

① 力の向きと大きさ。 鉛直磁場中の水平電流が受ける力はフレミング左手より水平方向、大きさ $F=BIL$。適切な向きに流せば斜面を押し上げる向きにできる。

② 斜面方向のつり合い。 斜面を上る向きを正として、水平力 $F$ の斜面成分($F\cos 30°$)と重力の斜面成分($mg\sin 30°$)がつり合う:

$$BIL\cos 30°=mg\sin 30°$$

$$I=\frac{mg\sin 30°}{BL\cos 30°}=\frac{mg\tan 30°}{BL}=\frac{0.010\times 9.8\times \frac{1}{\sqrt{3}}}{0.50\times 0.20}=\frac{0.0566}{0.10}\approx 0.28\mathrm{A}$$

まとめ 力が水平なので、斜面に沿う成分は $\cos 30°$(重力は $\sin 30°$)——斜面の分解で $\sin$ と $\cos$ がどちらの力につくかを、図で丁寧に確認するのが要である。電磁気の力を導入するだけで、あとは斜面上の物体のつり合い(力学)そのもの——分野をまたぐ問題は「電磁気で力を作り、力学で処理する」という橋渡しがすべてである。

別解

水平方向と鉛直方向で立てるルート(検算)。 なめらかな斜面では垂直抗力 $N$ が斜面に垂直。水平・鉛直の 2 方向でつり合いを書くと、水平: $F=N\sin 30°$、鉛直: $N\cos 30°=mg$。2 式から $F=mg\tan 30°$——斜面方向で立てた結果と一致する。

「斜面方向で立てる」か「水平鉛直で立てる」かは好みだが、両方で同じ答えが出ることを確かめると、$\sin /\cos$ の取り違えを完全に排除できる。