導線が受ける力はどう伝わるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $F=IBL$ は導線全体が受ける力の式である。しかし磁場が力を及ぼす相手は、電流を担う電子である。金属イオン(格子)は動いていないので、磁場から直接の力を受けない。

では、電子が受けた力はどうやって導線全体を動かすのか。ここを追うのがこの問題である。

電子は導線の外へ出られないので、力を受けると断面の片側に寄る。寄れば電荷のかたよりができ、電場が生まれる。その電場が、こんどはイオンを押す。これが力の受け渡しの経路である。

① 電子の平均の速さ。 電流は「1 秒間に断面を通る電気量」である。

$$v=\frac{I}{neS}=\frac{5.0}{8.5\times 10^{28}\times 1.6\times 10^{-19}\times 1.0\times 10^{-6}}\approx 3.7\times 10^{-4}m/s$$

$1\mathrm{mm}$ 進むのに約 $3$ 秒かかる速さである。信号は光に近い速さで伝わるのに、担い手はこれほど遅い。

② 電子が受ける力の合計。 電子 1 個が受けるローレンツ力は $evB$ である。銅線内の電子の数は

$$N=nSL=8.5\times 10^{28}\times 1.0\times 10^{-6}\times 0.50=4.25\times 10^{22}\text{個}$$

合計すると

$$F=N\cdot evB=nSL\cdot e\cdot \frac{I}{neS}\cdot B=IBL$$

$n,e,S$ がきれいに約分で消える。数値は

$$F=5.0\times 0.20\times 0.50=0.50\mathrm{N}$$

ミクロな量(電子の数や速さ)は答えに残らない。だから $F=IBL$ は、材料によらずに成り立つ。

③ ホール電場。 電子は磁場から断面の片側へ押され、そちら側に寄る。反対側では電子が足りなくなり、正に帯電する。

こうして断面を横切る向きの電場ができる。電子がそれ以上寄らなくなった定常状態では、電場から受ける力と磁場から受ける力がつり合う。

$$eE=evB⟹E=vB=3.7\times 10^{-4}\times 0.20\approx 7.4\times 10^{-5}V/m$$

断面の幅 $1.0\mathrm{mm}$ に生じる電圧は $7.4\times 10^{-8}\mathrm{V}$ で、きわめて小さい。

④ 力の受け渡し。 この電場は、電子だけでなく金属イオンにも力を及ぼす。銅線内のイオンの正電荷の総量は、自由電子の総電荷と大きさが等しく

$$Q=neSL=8.5\times 10^{28}\times 1.6\times 10^{-19}\times 1.0\times 10^{-6}\times 0.50=6.8\times 10^3\mathrm{C}$$

イオンが電場から受ける力は

$$F=QE=6.8\times 10^3\times 7.4\times 10^{-5}\approx 0.50\mathrm{N}$$

② で求めた $IBL$ とぴったり一致する。

つまり力は次の順に渡っている。磁場が電子を押す → 電子がかたよってホール電場ができる → その電場がイオン(格子)を押す。 イオンが押される向きは、磁場が電子を押した向きと同じである。

電子のほうは、電場から受ける力と磁場から受ける力がつり合っているので、正味の力を受けていない。だから力はすべて格子が受け取ることになる。導線が動くのはこのためである。

まとめ $F=IBL$ は結果の帳尻を合わせた式で、その中身は「磁場 → 電子 → ホール電場 → 格子」という力のバケツリレーである。ミクロな量が最後に消えるのは、電流という 1 つの量にまとめられているからである。

発展 — 一歩先へ。 ③ のホール電圧が極端に小さいのは、銅の電子密度 $n$ が大きいからである。担い手が多いと、少し寄っただけで十分な電場ができてしまう。

半導体では $n$ が $10^4$ から $10^6$ 分の 1 ほどしかない。同じ電流を流すと電子の速さがそれだけ大きくなり、ホール電圧も同じ比で大きくなる。磁気センサーに半導体が使われるのはこのためである。

いっぽう導線が受ける力 $IBL$ のほうは、$n$ が消えているので材料によらない。「力は同じでも、電圧はまるで違う」という対比が、この現象の面白いところである。

別解

単位長さあたりの電荷で見るルート。 約分の様子を、もっと見やすくする書き方がある。

導線 $1\mathrm{m}$ あたりに含まれる自由電子の電気量を $\lambda =neS$ とおく。すると電流の式は

$$I=\lambda v⟹v=\frac{I}{\lambda }$$

と、線密度と速さの積というシンプルな形になる。

電子全体が受ける力は、電荷の総量 $\lambda L$ に $vB$ を掛けたものだから

$$F=\lambda L\cdot vB=\lambda L\cdot \frac{I}{\lambda }B=IBL$$

$\lambda$ が 1 行で消える。「どんな導体を使っても、電流さえ同じなら力は同じ」ということが、この 1 行に凝縮されている。

同じ $\lambda$ で ③ を書くと $E=vB=\frac{IB}{\lambda }$ となり、こちらは $\lambda$ が残る。ホール電圧が材料によって大きく変わるのは、まさにこの残った $\lambda$ のせいである。

「消える量」と「残る量」を見分けると、どの現象が材料に依存するのかが一目で分かる。