サイクロトロン振動数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 サイクロトロン振動数は周期 $T=\frac{2\pi m}{qB}$ の逆数——そして (2) の答えは「周期が速さによらない」(基礎で示した)という、この単元最大の美点である。

① 振動数。

$$f=\frac{1}{T}=\frac{qB}{2\pi m}=\frac{1.6\times 10^{-19}\times 0.50}{2\times 3.14\times 1.67\times 10^{-27}}=\frac{8.0\times 10^{-20}}{1.05\times 10^{-26}}\approx 7.6\times 10^6\mathrm{Hz}$$

② 加速し続けられる理由。 サイクロトロンは 2 つの D 字電極(ディー)の間の隙間で、粒子が通るたびに電圧で押して加速する。加速すると粒子は速く・大きく回るが、周期は速さによらず一定——だから隙間に来るタイミングが常に同じで、振動数 $f$ の交流電圧を掛けておけば、何周してもぴったりのタイミングで押し続けられる。

まとめ 「速くなっても 1 周の時間は同じ」という一見地味な性質が、粒子を光速近くまで加速する装置を可能にした——物理の美しさの実例である。振動数 $f$ は粒子の速さに全く依存せず、$\frac{qB}{2\pi m}$ という比電荷と磁場だけで決まる。だから装置は 1 つの固定振動数で動く——サイクロトロンが「等時性」の申し子と呼ばれる理由である。

別解

相対論的な限界に触れるルート(発展)。 実は光速に近づくと質量が増える(相対論効果)ため、$T=\frac{2\pi m}{qB}$ の $m$ が増えて周期が延び、タイミングがずれてくる——高エネルギーではサイクロトロンが使えなくなる。これを補うのが、振動数を粒子に合わせて変えるシンクロトロンである。

「等時性が成り立つ範囲」を知ると、加速器の進化(サイクロトロン→シンクロトロン)の必然性が見える——高校の式が最先端技術の入口になっている。