物理 / 電流と磁場

ホール効果

★★★ 応用ローレンツ力ホール効果

問題

厚さ $d = 1.0 \times 1 0^{- 3} m$ の金属板に、板面に平行に電流 $I = 1.0 A$ を流し、板面に垂直に磁束密度 $B = 0.50 T$ の磁場をかける。金属中の自由電子(電気量の大きさ $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ 、密度 $n = 1.0 \times 1 0^{28} / m^{3}$ )は磁場から力を受け、板の側面間に電位差(ホール電圧)が生じる。このホール電圧 $V_{H}$ を求めよ。ただし板の幅を $w$ とすると $V_{H} = \frac{I B}{n e d}$ となることを使ってよい。

電流中の電子がローレンツ力で偏り、側面間に電位差(ホール電圧)が生じる

ヒントを見る

電流を担う電子が磁場からローレンツ力を受け、板の片側に押しつけられる。すると電荷が偏って電場が生じ、やがてローレンツ力とつり合う——このつり合いがホール電圧を決める。与えられた式に代入するだけだが、なぜこの式になるかも考えたい。

解答・解説

方針

電流中の電子がローレンツ力で片側に寄り、電荷の偏りが電場をつくる。定常でローレンツ力と電気力がつり合い、VH=IB/(ned)。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ホール効果は「電流中の電子がローレンツ力で片側に寄り、偏った電荷が電場を作ってつり合う」現象である。速度選択器(標準 s09)と同じ「ローレンツ力と電気力のつり合い」が舞台裏にある。

① 代入する。

$V_{H} = \frac{I B}{n e d} = \frac{1.0 \times 0.50}{1.0 \times 1 0 ^{28} \times 1.6 \times 1 0 ^{- 19} \times 1.0 \times 1 0 ^{- 3}} = \frac{0.50}{1.6 \times 1 0 ^{6}} \approx 3.1 \times 1 0^{- 7} V$

② 式の意味(なぜこうなるか)。 定常状態では、電子が受けるローレンツ力 $e v B$ と、偏りが作る電場からの力 $e E_{H} = e \frac{V _{H}}{w}$ がつり合う。電流 $I = n e v w d$ (自由電子の速さ $v$ )から $v$ を消すと、幅 $w$ も消えて $V_{H} = \frac{I B}{n e d}$ になる。

まとめ ホール電圧は約 $0.3 μ V$ ——小さいが精密に測れる。この効果の価値は測定にある: (1) $V_{H}$ の符号から電流の担い手が電子(負)か正孔(正)かが分かる(半導体の性質の判定)、(2) $V_{H} \propto B$ なので磁場センサー(ホール素子)として使える(スマホの方位磁針や電流計に内蔵)。 $V_{H} = \frac{I B}{n e d}$ の $n$ (担い手の密度)が逆算できるのも重要——物質の電子密度を測る手段になる。

答

$V_{H} = \frac{I B}{n e d} = \frac{1.0 \times 0.50}{1.0 \times 1 0 ^{28} \times 1.6 \times 1 0 ^{- 19} \times 1.0 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 3.1 \times 1 0^{- 7} V$

別解

つり合いを自分で立てて式を導くルート。 ローレンツ力 $e v B$ = 電気力 $e \frac{V _{H}}{w}$ より $V_{H} = v B w$ 。電流 $I = n e v w d$ から $v = \frac{I}{n e w d}$ 。代入すると

$V_{H} = \frac{I}{n e w d} \cdot B w = \frac{I B}{n e d}$

幅 $w$ が約分で消える——だから板の幅によらず、厚さ $d$ だけが効く。速度選択器の $q E = q v B$ と同じつり合いから出発して、電流の式で $v$ を消す——「つり合い+微視的な電流の式」の合わせ技である。

ポイント

ローレンツ力と電気力のつり合い
VH=IB/(ned)(幅は消える)
担い手の符号判定・磁場センサー

よくある間違い

厚さ d と幅 w を取り違える
n を掛けずに割る
つり合いを考えず力だけで済ませる