らせん運動のピッチ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 らせんは「円運動と等速直進の合成(垂直成分の円運動+平行成分の直進)」の合成(標準 s11)。ピッチ=「1 周する時間に平行方向へ進む距離」= $v_{\parallel }\times T$ である。

① 周期。 円運動の周期は速さによらず(垂直成分の大きさによらず)

$$T=\frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\times 3.14\times 9.1\times 10^{-31}}{1.6\times 10^{-19}\times 0.10}=\frac{5.71\times 10^{-30}}{1.6\times 10^{-20}}\approx 3.6\times 10^{-10}\mathrm{s}$$

② ピッチ。 平行成分 $v_{\parallel }=v\cos 60°=3.0\times 10^6\times 0.50=1.5\times 10^{6}m/s$。1 周する時間 $T$ の間に平行方向へ進む距離が

$$p=v_{\parallel }T=1.5\times 10^6\times 3.57\times 10^{-10}\approx 5.4\times 10^{-4}\mathrm{m}$$

まとめ ピッチは「1 巻きあたりの前進」——ばねのコイルの間隔と同じ量である。周期 $T$ は平行成分によらず一定なので、入射角が浅い($v_{\parallel }$ が大きい)ほどピッチは長く、緩いらせんになる($90°$ 入射なら $v_{\parallel }=0$ でピッチ 0=平面円運動)。この量が磁気ミラー(磁場でプラズマを閉じ込める装置)や、地球磁場に沿って荷電粒子が極へ運ばれる仕組みを定量化する——オーロラの緯度分布まで説明できる量である。

別解

「周期は不変」の威力を使うルート。 ピッチの計算で使う $T$ は、垂直成分 $v_{\perp }$ に全くよらない——だから入射角を変えても $T$ は同じで、ピッチは $v_{\parallel }=v\cos \theta$ にだけ比例する。$p=v\cos \theta \cdot \frac{2\pi m}{qB}$。

「周期が速さによらない」という基礎の性質が、らせんのピッチを $\cos \theta$ だけの簡単な依存にしている——1 つの性質(等時性)が、円運動・サイクロトロン・らせんを貫いて効いている。