らせん運動のピッチ

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) らせんは「円運動と等速直進の合成(垂直成分の円運動+平行成分の直進)」である(標準のらせん運動の問題と同じ)。ピッチ=「1 周する時間に平行方向へ進む距離」= $v_{\parallel }\times T$ である。

① 周期。 円運動の周期は速さによらず(垂直成分の大きさによらず)

$$T=\frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\times 3.14\times 9.1\times 10^{-31}}{1.6\times 10^{-19}\times 0.10}=\frac{5.71\times 10^{-30}}{1.6\times 10^{-20}}\approx 3.6\times 10^{-10}\mathrm{s}$$

② ピッチ。 平行成分 $v_{\parallel }=v\cos 60°=3.0\times 10^6\times 0.50=1.5\times 10^{6}m/s$。1 周する時間 $T$ の間に平行方向へ進む距離が

$$p=v_{\parallel }T=1.5\times 10^6\times 3.57\times 10^{-10}\approx 5.4\times 10^{-4}\mathrm{m}$$

まとめピッチは「1 巻きあたりの前進」で、ばねのコイルの間隔にあたる量である。周期 $T$ は平行成分によらず一定なので、入射角が浅い($v_{\parallel }$ が大きい)ほどピッチは長く、緩いらせんになる($90°$ 入射なら $v_{\parallel }=0$ でピッチ 0=平面円運動)。この量を使うと、磁気ミラー(磁場でプラズマを閉じ込める装置)や、地球磁場に沿って荷電粒子が極へ運ばれる仕組みを定量的に扱える。オーロラの緯度分布まで説明できる。

別解

「周期は不変」という性質を使うルート。 ピッチの計算で使う $T$ は垂直成分 $v_{\perp }$ に全くよらない。だから入射角を変えても $T$ は同じで、ピッチは $v_{\parallel }=v\cos \theta$ にだけ比例する。$p=v\cos \theta \cdot \frac{2\pi m}{qB}$。

「周期が速さによらない」という基礎の性質があるので、らせんのピッチは $\cos \theta$ だけに依存する簡単な形になる。同じ性質(等時性)が円運動・サイクロトロン・らせんのすべてで使われている。