サイクロトロン — 半径は √n、時間は n

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 加速のたびに速さが増えるので、まともに追うと大変そうに見える。

しかし磁場中の円運動には特別な性質がある。周期が速さによらないのである。だから「何回まわったか」さえ分かれば、時間は掛け算で出る。

そしてエネルギーは 1 回の加速ごとに一定量ずつ増える。半径はエネルギーの平方根に比例するから $\sqrt{n}$、時間は回数そのものに比例して $n$。この「$\sqrt{n}$ と $n$ のずれ」が問題の骨格である。

① 周期が速さによらないこと。 磁場中の円運動では、磁場から受ける力が向心力になる。

$$qvB=\frac{m{v}^2}{r}⟹r=\frac{mv}{qB}$$

一周の時間は円周を速さで割ればよい。

$$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{qB}$$

右辺に $v$ が残っていない。速くなれば半径も同じ比で大きくなるので、一周にかかる時間は変わらない。

$$T=\frac{2\times 3.14\times 1.6\times 10^{-27}}{1.6\times 10^{-19}\times 0.50}\approx 1.3\times 10^{-7}\mathrm{s}$$

② 半径は $\sqrt{n}$ に比例する。 1 回の加速で得るエネルギーは $qV$ で一定である。$n$ 回目の加速を終えた直後の運動エネルギーは

$$K_n=nqV$$

速さは $v_n=\sqrt{\frac{2K_n}{m}}$ だから

$$r_n=\frac{m{v}_n}{qB}=\frac{\sqrt{2mnqV}}{qB}$$

$n$ 以外はすべて定数なので、$r_n\propto \sqrt{n}$ である。

③ 加速の回数とエネルギー。 取り出すときの速さは、半径の式から出す。

$$v=\frac{qBR}{m}=\frac{1.6\times 10^{-19}\times 0.50\times 0.40}{1.6\times 10^{-27}}=2.0\times 10^{7}m/s$$

$$K=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}\times 1.6\times 10^{-27}\times (2.0\times 10^7{)}^2=3.2\times 10^{-13}\mathrm{J}$$

これを $1$ 回あたりの $qV$ で割る。

$$n=\frac{K}{qV}=\frac{3.2\times 10^{-13}}{1.6\times 10^{-19}\times 1.0\times 10^5}=20$$

$20$ 回の加速が必要である。エネルギーを電子ボルトに直すと、$1\mathrm{eV}=1.6\times 10^{-19}\mathrm{J}$ だから

$$K=\frac{3.2\times 10^{-13}}{1.6\times 10^{-19}}=2.0\times 10^6\mathrm{eV}=2.0\mathrm{MeV}$$

④ 時間の配分。 加速と加速のあいだにディーの中で描くのは半円で、その時間はどれも $\frac{T}{2}$ である。$20$ 回の加速のあいだに半円を $20$ 個描くから

$$t=20\times \frac{T}{2}=10T\approx 1.3\times 10^{-6}\mathrm{s}$$

半径が最大の半分になるのは、$r_n=R\sqrt{\frac{n}{20}}$ より

$$\sqrt{\frac{n}{20}}=\frac{1}{2}⟹n=5$$

時間は回数に比例するので、$\frac{5}{20}=25\%$ が過ぎた時点である。

半分の半径に達するまでに時間の $4$ 分の $1$ しか使わず、残りの $4$ 分の $3$ で外側の広い部分を回る。

まとめ 半径は $\sqrt{n}$、時間は $n$ に比例する。外側の円は大きいのに 1 周の時間は内側と同じで、そのぶん「外側にいる時間の割合」が大きくなる。周期が速さによらないという 1 つの事実が、加速のしくみ(一定の振動数の電圧でよい)と時間の配分の両方を決めている。

発展 — 一歩先へ。 ここでは古典力学で計算した。取り出すときの速さは光速の $\frac{2.0\times 10^7}{3.0\times 10^8}\approx 6.7\%$ で、まだ相対論の効果は小さい。

しかしエネルギーをさらに上げると、質量が増えたようにふるまい、周期 $\frac{2\pi m}{qB}$ が伸びる。すると一定の振動数の電圧では同期が保てなくなる。これがサイクロトロンの限界で、振動数や磁場を時間とともに変えるシンクロトロンが必要になる理由である。

別解

「回数」を横軸にとって全体を眺めるルート。 ③ の計算をせずに、比だけで見通す方法もある。

$r_n\propto \sqrt{n}$ なので、最終半径 $R$ を使えば

$$r_n=R\sqrt{\frac{n}{N}}$$

と書ける($N$ は全加速回数)。この式は「半径の伸びは最初が急で、あとほど鈍る」ことを表している。1 回目の加速で早くも最大半径の $\frac{1}{\sqrt{20}}\approx 22\%$ に達する。

一方、時間は回数に比例するので、横軸を時間にとった半径のグラフは  ​ の形になる。

このグラフを見ると、④ の $25\%$ という答えが計算なしで読める。半径が半分になるのは縦軸が $\frac{1}{2}$ のところで、 ​ 曲線ではそれが横軸の $\frac{1}{4}$ にあたるからである。

「 ​ のグラフでは、縦が半分になるのは横が $\frac{1}{4}$」という関係を覚えておくと、この種の問いは一目で片づく。