物理 / 電流と磁場

速度選択器

★★ 標準ローレンツ力速度選択器

問題

互いに垂直な電場と磁場が重なった領域に、両方に垂直に荷電粒子を打ち込む。電場の強さ $E = 1000 V/m$ 、磁束密度 $B = 0.020 T$ のとき、まっすぐ進む(電気力とローレンツ力がつり合う)粒子の速さを求めよ。また、この装置が「速度選択器」と呼ばれる理由を述べよ。

電気力とローレンツ力がつり合う速さの粒子だけが通過する

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粒子には 2 つの力がはたらく——電場からの力 qE と、磁場からのローレンツ力 qvB。この 2 つが逆向きにつり合えばまっすぐ進む。つり合いの式から速さが 1 つに決まることに注目——それ以外の速さの粒子はどうなるか。

解答・解説

方針

電気力 qE(電場方向)とローレンツ力 qvB(逆向き)のつり合い qE=qvB。v=E/B。この速さ以外は力がつり合わず曲がる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 電場と磁場を逆向きに効かせて綱引きさせる。電気力 $q E$ (速さによらない)とローレンツ力 $q v B$ (速さに比例)がつり合うのは、ただ 1 つの速さだけ——この選別が装置の要である。

① つり合いの式。 2 力が逆向きにつり合うとき

$q E = q v B ⟹ v = \frac{E}{B} = \frac{1000}{0.020} = 5.0 \times 1 0^{4} m/s$

( $q$ が消える——電荷の大きさや符号によらず、この速さで選別される。)

② 速度選択器の理由。 電気力は速さによらず一定だが、ローレンツ力は速さに比例する。だから

$v = \frac{E}{B}$ ちょうど: つり合ってまっすぐ通過
速すぎる粒子: ローレンツ力が勝って一方へ曲がる
遅すぎる粒子: 電気力が勝って逆へ曲がる

特定の速さの粒子だけがまっすぐ通り抜け、スリットを通過できる——だから速度選択器である。

まとめ $v = \frac{E}{B}$ という美しい結果——電場と磁場の比で速さが決まる。これは質量分析器(応用)の前段でよく使われる(まず速さをそろえてから、磁場で質量ごとに分ける)。「速さによらない力(電気)と速さに比例する力(磁気)の綱引き」という設計思想は、物理の巧みさの好例である。

答

電気力 $q E$ とローレンツ力 $q v B$ がつり合う: $q E = q v B$ より $v = \frac{E}{B} = \frac{1000}{0.020} = 5.0 \times 1 0^{4} m/s$ 。この速さの粒子だけがまっすぐ進み、他の速さの粒子は曲げられて除かれるから

別解

単位で v=E/B を確かめるルート。 $\frac{E}{B} = \frac{V/m}{T}$ —— $V = T \cdot m^{2} /s$ (電磁誘導の $Φ = B S$ 、 $V = d Φ/ d t$ から)を使うと $\frac{T \cdot m ^{2} /s/m}{T} = m/s$ で確かに速さ。

$v = \frac{E}{B}$ は速度選択器だけでなく、電磁波の $E$ と $B$ の関係( $E = c B$ )にも顔を出す——「電場と磁場の比が速さ」という関係の一般性を、頭の片隅に置いておくと後で響く。

ポイント

qE=qvB のつり合い→v=E/B
電荷 q によらず選別
特定の速さだけ直進(選別)

よくある間違い

2 力を同じ向きと考える
q が消えることに気づかず残す
v=EB や v=B/E と誤る