比電荷の測定

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 電子の $e$ も $m$ も単独では測りにくいが、比 $\frac{e}{m}$ なら測れる——加速の式と円運動の式から、測れない $v$ を消去するのが核心である。

① 2 本の式。

$$eV=\frac{1}{2}m{v}^2(加速),r=\frac{mv}{eB}(円運動)$$

② v を消去する。 円運動の式から $v=\frac{eBr}{m}$、これを加速の式に代入:

$$eV=\frac{1}{2}m{\left(\frac{eBr}{m}\right)}^2=\frac{e^2{B}^2{r}^2}{2m}⟹\frac{e}{m}=\frac{2V}{B^2{r}^2}$$

③ 代入する。

$$\frac{e}{m}=\frac{2\times 200}{(2.0\times 10^{-3}{)}^2\times (2.4\times 10^{-2}{)}^2}=\frac{400}{4.0\times 10^{-6}\times 5.76\times 10^{-4}}\approx 1.7\times 10^{11}C/kg$$

まとめ 教科書値 $\frac{e}{m}=1.76\times 10^{11}C/kg$ とよく一致する——これがトムソンの陰極線の実験(1897 年)の原理で、電子の発見につながった歴史的測定である。$v$ という「測れない量」を 2 式で消して、測定量だけの式を作る——これは物理の測定技術の王道(前の電位差計・ブリッジと同じ「巧みな消去」の思想)である。

別解

次元と桁で検算するルート。 $\frac{e}{m}$ の単位は $\frac{\mathrm{V}}{{\mathrm{T}}^2\cdot {\mathrm{m}}^2}$——展開すると $C/kg$ になる(確かめると良い訓練)。桁は $\frac{10^2}{10^{-6}\times 10^{-4}}=10^{12}$ 前後、係数を入れて $10^{11}$ 台——教科書値と同じオーダーで安心できる。

実験値が理論の既知値と桁で合うかを最後に確認する——測定問題では「答えが妥当な範囲か」の一言を必ず添えたい。