電流天秤(アンペアの定義)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「電流間の力でものを浮かせる」——力の大きさの式と重力をつり合わせて電流を逆算する問題である。1 m あたりで考えると質量も力も「1 m あたり」で統一できる。

① つり合いの式。 1 m あたりの電流間の力(引力)が、1 m あたりの重力を支える:

$$\frac{{\mu }_0{I}^2}{2\pi d}=mg$$

($m=8.0\times 10^{-4}kg/m$ は 1 m あたりの質量。)

② I について解く。

$$I^2=\frac{2\pi d\cdot mg}{{\mu }_0}=\frac{2\pi \times 1.0\times 10^{-2}\times 8.0\times 10^{-4}\times 9.8}{4\pi \times 10^{-7}}=\frac{2\times 10^{-2}\times 7.84\times 10^{-3}}{4\times 10^{-7}}$$

$$I^2=\frac{1.568\times 10^{-4}}{4\times 10^{-7}}=3.92\times 10^2⟹I\approx 20\mathrm{A}$$

まとめ この「電流天秤」は、かつてアンペア(電流の単位)の定義の基礎だった——電流間の力は ${\mu }_0$ を通して力学的に測れるので、力(=質量×重力加速度、力学量)から電流を決められる。「電気の量を力学の量で定義する」という発想が、この装置に込められている。$I^2$ に比例する力なので、$I$ を精密に決めるには力を精密に測る——精密測定の物理がここにある(現在の定義は電気素量に基づくが、電流天秤の思想は今も基礎物理定数の測定に生きている)。

別解

桁の見積もりで検算するルート。 $\frac{{\mu }_0}{2\pi }=2\times 10^{-7}$ を使うと、力の式は $\frac{2\times 10^{-7}\times I^2}{d}$。$d=10^{-2}$、重力 $\approx 8\times 10^{-3}$ を入れると $I^2\approx \frac{8\times 10^{-3}\times 10^{-2}}{2\times 10^{-7}}=4\times 10^2$、$I\approx 20\mathrm{A}$——きれいに合う。

$\frac{{\mu }_0}{2\pi }=2\times 10^{-7}$ という覚えやすい値を使うと、電流間の力の計算が一気に軽くなる——実戦の武器として持っておきたい。