円運動の周期

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 周期を $T=\frac{2\pi r}{v}$(1 周の距離 ÷ 速さ)と書き、$r=\frac{mv}{qB}$ を代入する——$v$ が約分で消えるのがこの問題の山場である。

① 代入する。

$$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi }{v}\cdot \frac{mv}{qB}=\frac{2\pi m}{qB}$$

$v$ が消えた——速さによらない。

② 数値。

$$T=\frac{2\times 3.14\times 9.1\times 10^{-31}}{1.6\times 10^{-19}\times 0.50}=\frac{5.71\times 10^{-30}}{8.0\times 10^{-20}}\approx 7.1\times 10^{-11}\mathrm{s}$$

まとめ 「速い粒子は大きな円を速く回り、遅い粒子は小さな円をゆっくり回る」——1 周の時間はちょうど同じになる。この「速さによらない周期」が、サイクロトロン(粒子加速器)を成立させる基盤である(標準・応用)——加速して速くなっても回転のタイミングがずれないから、一定周期の電圧で押し続けられる。$\frac{qB}{2\pi m}$ をサイクロトロン振動数という。

別解

角速度で見るルート。 $qvB=mr{\omega }^2$……ではなく、$v=r\omega$ を $qvB=\frac{m{v}^2}{r}=mr{\omega }^2$ に入れると $\omega =\frac{qB}{m}$——角速度が $v$ によらず磁場だけで決まる。$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi m}{qB}$ と一致。

「角速度 $\omega =\frac{qB}{m}$ が速さによらない」という形で覚えると、単振動の $\omega$ と同じ「1 周のペースを決める量」として理解できる。