地磁気を測る(タンジェント検流計)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 地磁気の強さを直接測るのは難しい。しかし「自分でつくれる磁場」と比べるだけなら、比の測定で済む。

方位磁針は磁場の向きを指す。コイルの磁場と地磁気が直交しているなら、指す向きは 2 つの大きさの比だけで決まる。つまり角度を読めば比が分かる。

比が分かれば、既知のコイルの磁場から未知の地磁気が求まる。「未知量を既知量との比で測る」という測定の基本形である。

① コイルの磁場。

$$B_{\mathrm{c}}=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 10\times 0.50}{2\times 0.10}=3.14\times 10^{-5}\mathrm{T}$$

② 地磁気の水平成分。 コイルの面は地磁気の水平成分と平行に立てられている。円形電流のつくる磁場はコイルの面に垂直だから、この 2 つの磁場は直交している。

方位磁針は合成した磁場の向きを指すので、直角三角形ができる。

$$\tan \theta =\frac{B_{\mathrm{c}}}{B_{\mathrm{h}}}$$

$\theta =45^{\circ }$ なら $\tan \theta =1$ だから

$$B_{\mathrm{h}}=B_{\mathrm{c}}=3.1\times 10^{-5}\mathrm{T}$$

実際の地磁気の水平成分は $3\times 10^{-5}\mathrm{T}$ ほどで、この値と合っている。

③ 電流との関係。 ① と ② を合わせる。

$$\tan \theta =\frac{B_{\mathrm{c}}}{B_{\mathrm{h}}}=\frac{{\mu }_{0}n}{2R{B}_{\mathrm{h}}}I$$

$B_{\mathrm{h}}$ は測定のあいだ変わらないので、$\tan \theta$ は $I$ に比例する。この装置がタンジェント検流計とよばれるのはこのためである。

④ どの角度で測るのがよいか。 $I$ は $\tan \theta$ に比例するので、$I=k\tan \theta$ と書ける。角度に $\Delta \theta$ の読み取り誤差があると、電流の値には

$$\Delta I=k\frac{\Delta \theta }{{\cos }^2\theta }$$

の誤差が乗る。相対誤差を作ると

$$\frac{\Delta I}{I}=\frac{\frac{\Delta \theta }{{\cos }^2\theta }}{\tan \theta }=\frac{\Delta \theta }{\sin \theta \cos \theta }=\frac{2\Delta \theta }{\sin 2\theta }$$

$\Delta \theta$ が一定なら、これが最小になるのは $\sin 2\theta$ が最大のとき、すなわち

$$2\theta =90^{\circ }⟹\theta =45^{\circ }$$

$45^{\circ }$ から離れるほど誤差は大きくなり、$20^{\circ }$ では約 $1.6$ 倍になる。だから電流を調整して、振れ角が $45^{\circ }$ 付近になるようにして測る。

まとめ 直交する 2 つの磁場の比が正接になる、という 1 つの関係だけで測定が組み立てられる。そして「比を測る装置は、比が $1$ のあたりで最も精度が高い」という性質もついてくる。

発展 — 一歩先へ。 「$45^{\circ }$ 付近が最良」という結論は、この装置に限らない。長さの比を読むメートルブリッジで、接点が中央付近にあるときに精度が高いのも同じ理由である。

どちらも「比を測る量が、読み取り誤差に対してもっとも鈍感になる点」を選んでいる。測定の設計では、公式そのものより、この種の感度の議論が効いてくる。

別解

1 点で決めず、グラフの傾きで決めるルート。 ② では 1 回の測定から $B_{\mathrm{h}}$ を出したが、実験では電流をいろいろ変えて測るほうが確かである。

③ の関係から、横軸に $I$、縦軸に $\tan \theta$ をとると、原点を通る直線になる。その傾きは

$$k=\frac{{\mu }_{0}n}{2R{B}_{\mathrm{h}}}$$

である。測定点を何点か取って直線を引き、その傾きから

$$B_{\mathrm{h}}=\frac{{\mu }_{0}n}{2Rk}$$

と求める。

この方法には 2 つの利点がある。1 つは、多数の点を使うので読み取り誤差が平均化されること。もう 1 つは、直線が原点を通らなかったときに「方位磁針の初期の向きがずれていた」などの系統的な誤りに気づけることである。

1 点だけの測定では、こうした狂いがそのまま答えに入りこんでしまう。