物理 / 電流と磁場

2 本の電流の間の磁場ゼロ点

★★★ 応用電流の磁場合成

問題

$0.30 m$ 離れた平行な 2 直線導線 A・B に、同じ向きに電流を流す。A には $I_{A}$ 、B には $I_{B}$ を流す。(1) $I_{A} = I_{B}$ のとき、2 本の間で合成磁場が 0 になる点の位置を求めよ。 (2) $I_{A} = 2 I_{B}$ のとき、磁場が 0 になる点は A から何 m の位置か。

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同じ向きの 2 電流の間では、それぞれの磁場が逆向き——打ち消し合える。大きさの等しい点を探す。H=I/(2πr) だから、2π は両辺で消えて I/距離の等式になる。電場のゼロ点(電場の単元)と同じ構造。

解答・解説

方針

同じ向きの電流→間では磁場が逆向き→打ち消せる。大きさが等しくなる点: H_A=H_B、I_A/x=I_B/(d−x)。強い電流から遠い側に寄る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 磁場のゼロ点は「まず向きで打ち消せる領域を特定 → 大きさの等式」。同じ向きの 2 電流では、間の領域で磁場が逆向きになり打ち消せる(電場のゼロ点と同じ論法)。

① $I_{A} = I_{B}$ の場合。 対称性より中点——A から $0.15 m$ 。

② $I_{A} = 2 I_{B}$ の場合。 A から $x$ の点で大きさが等しい:

$\frac{I _{A}}{2 π x} = \frac{I _{B}}{2 π ( 0.30 - x )} ⟹ \frac{2 I _{B}}{x} = \frac{I _{B}}{0.30 - x}$

$2 π$ も $I_{B}$ も消えて

$\frac{2}{x} = \frac{1}{0.30 - x} ⟹ 2 (0.30 - x) = x ⟹ x = 0.20 m$

同じ向きの 2 電流。強い方から遠い側に磁場ゼロ点がある

まとめ 強い電流 A( $2 I_{B}$ )から遠い側(A から 0.20、B から 0.10 の $2 : 1$ )にゼロ点がある——電場のゼロ点(電荷 $Q_{1} = 4 Q_{2}$ なら距離比 $2 : 1$ )と全く同じ構造だが、磁場は $\frac{1}{r}$ (電場は $\frac{1}{r ^{2}}$ )なので距離の比が電流の比に直接等しい(電場は平方根だった)。「向きで領域を決め、大きさで位置を決める」——電磁気の合成ゼロ点の共通の型である。

答

同じ向きの電流の間では磁場が逆向きなので打ち消せる。(1) 対称性より中点(A から $0.15 m$ ) (2) $\frac{I _{A}}{x} = \frac{I _{B}}{0.30 - x}$ より $\frac{2}{x} = \frac{1}{0.30 - x}$ 、 $x = 0.20 m$

別解

比で一発のルート。 磁場は $\frac{1}{r}$ に比例するから、 $H_{A} = H_{B}$ は $\frac{I _{A}}{r _{A}} = \frac{I _{B}}{r _{B}}$ 、つまり $\frac{r _{A}}{r _{B}} = \frac{I _{A}}{I _{B}} = 2$ 。間の $0.30 m$ を $2 : 1$ に内分して、A から $0.20 m$ 。

「距離の比=電流の比」を道具化すると方程式なしで終わる。電場( $\frac{1}{r ^{2}}$ )は「距離の比=√(電荷の比)」だったのと対比して、 $\frac{1}{r}$ 系(磁場)と $\frac{1}{r ^{2}}$ 系(電場)の違いを整理しておく。

ポイント

同じ向きの電流→間で打ち消せる
距離の比=電流の比(磁場は 1/r)
強い電流から遠い側

よくある間違い

外側の領域で探す
距離の比を √(電流比)とする(それは電場)
逆向き電流の場合と混同する