磁場の境界を横切る荷電粒子

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 磁場が片側だけにある問題は、「入る→円弧→また境界に達して出る」の 3 幕で追う。境界に垂直に入った場合、円弧はちょうど半円になる。

① 軌道。 磁場領域($x>0$)に入ると円運動を始める。境界に垂直に入ったので、円の中心は境界上——電子は半円を描いて、再び境界($x=0$)に達して磁場のない領域へ飛び出す。出てくる向きは入射と逆($-x$ 方向)。

② 半径と距離。

$$r=\frac{mv}{qB}=\frac{9.1\times 10^{-31}\times 2.0\times 10^6}{1.6\times 10^{-19}\times 0.50}\approx 2.3\times 10^{-5}\mathrm{m}$$

入射点と出口点は円の直径の両端だから、距離は

$$2r\approx 4.6\times 10^{-5}\mathrm{m}$$

まとめ 「境界に垂直入射 → 半円で $2r$ ずれて出る」——磁場が反射鏡のように粒子を跳ね返す。もし斜めに入れば半円でなく一般の円弧になり、幾何(入射角と円の関係)を丁寧に追う必要がある。この「有限領域の磁場を横切る」設定は、粒子の速さや電荷を軌道の幾何から測る検出器の原理であり、$2r$ の測定から $\frac{mv}{q}$(運動量/電荷)が分かる。円運動の式 $r=\frac{mv}{qB}$ を、幾何(半円)と組み合わせるのがこの型の核心である。

別解

エネルギーは不変を使うルート(検算)。 磁場は仕事をしないので、出てくるときの速さは入射時と同じ $2.0\times 10^{6}m/s$——半円を回っても速さは変わらない。もしエネルギーが変わって見えたら計算ミスのサイン。

「磁場中では速さ一定・向きだけ変わる」という基礎の性質が、複雑な軌道問題でも最強の検算になる——出口の速さ・エネルギーを問われたら即答できる。