サイクロトロンの最大エネルギー

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 サイクロトロンでは、粒子は加速するたびに半径を広げる螺旋を描く——加速の限界はディーの半径 $R$ に達したときである。$r=R$ を円運動の式に入れて最大速さを出す。

① 最大の速さ。 $r=\frac{mv}{qB}$ で $r=R$ とおくと

$$v=\frac{qBR}{m}=\frac{1.6\times 10^{-19}\times 0.50\times 0.50}{1.67\times 10^{-27}}\approx 2.4\times 10^{7}m/s$$

② 運動エネルギー。

$$E=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{\left(\frac{qBR}{m}\right)}^2=\frac{q^2{B}^2{R}^2}{2m}=\frac{(1.6\times 10^{-19}{)}^2\times 0.50^2\times 0.50^2}{2\times 1.67\times 10^{-27}}\approx 4.8\times 10^{-13}\mathrm{J}$$

まとめ 到達エネルギーは $E=\frac{q^2{B}^2{R}^2}{2m}$——磁場 $B$ と装置の半径 $R$ の 2 乗で決まり、加速電圧には依存しない(電圧は 1 周あたりの増分を決めるだけで、上限は幾何と磁場が決める)。だから高エネルギーを狙うには「強い磁場・大きな装置」が必要——加速器が巨大化する理由がこの式にある。$2.4\times 10^{7}m/s$ は光速の約 8 %——ここまでなら相対論効果は小さく、サイクロトロンの等時性が保たれる。

別解

周回数から加速電圧を逆算するルート(発展)。 1 周で 2 回ディーの隙間を通り、毎回 $qU$($U$: 加速電圧)ずつエネルギーを得る。最大エネルギー $E$ に達するまでの周回数は $\frac{E}{2qU}$——たとえば $U=10^5\mathrm{V}$ なら約 $1.5\times 10^4$ 周。

「小さな加速を何万回も繰り返して巨大なエネルギーにする」——サイクロトロンの巧妙さ(等時性のおかげで一定電圧で押し続けられる)が、周回数の計算で実感できる。