物理 / 電流と磁場

質量分析器と同位体の分離

★★★ 応用ローレンツ力質量分析器

問題

電荷 $q = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ のイオンを電位差 $V = 1000 V$ で加速し、磁束密度 $B = 0.20 T$ の一様な磁場に垂直に入射させて半円を描かせ、入射点から距離 $2 r$ の所で検出する。(1) 質量 $m$ を $q, V, B, r$ で表せ。 (2) 半径 $2.0 cm$ で検出されたイオンの質量を求めよ。 (3) このイオンと、質量が $1 %$ 大きい同位体は、検出位置がどれだけ離れるか。

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加速の式と円運動の式を組み合わせて、m を測定量(V・B・r)で表す。同位体は質量がわずかに違うだけ——r が √m に比例することから、質量の 1 % 差が半径の何 % 差になるかを考える。

解答・解説

方針

加速+円運動から m=qB²r²/(2V)。r∝√m なので質量の違いが半径の違いになり、2r の位置で検出。1%の質量差→0.5%の半径差。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 質量分析器は「加速(電場)→ 円運動(磁場)→ 半径から質量を逆算」する装置である。比電荷の実験(標準)と同じ 2 式を、今度は質量 $m$ について解く。

① 質量の式。 $q V = \frac{1}{2} m v^{2}$ と $r = \frac{m v}{q B}$ から $v$ を消去(標準 s05 と同じ手順):

$m = \frac{q B ^{2} r ^{2}}{2 V}$

② 数値。

$m = \frac{1.6 \times 1 0 ^{- 19} \times 0.2 0 ^{2} \times 0.02 0 ^{2}}{2 \times 1000} = \frac{1.6 \times 1 0 ^{- 19} \times 0.04 \times 4.0 \times 1 0 ^{- 4}}{2000} \approx 1.3 \times 1 0^{- 25} kg$

③ 同位体の分離。 $r \propto m$ だから、質量が $1 %$ 大きいと半径は $1.01 \approx 1.005$ 倍、つまり $0.5 %$ 大きい。検出位置は $2 r$ なので、その差は

$Δ (2 r) = 2 r \times 0.005 = 2 \times 0.020 \times 0.005 = 2 \times 1 0^{- 4} m = 0.2 mm$

半円を描いて 2r の位置で検出。質量の違いが位置の違いになる

まとめ わずか $1 %$ の質量差が $0.2 mm$ の位置差になる——十分に検出可能で、これが同位体の分離・存在比の測定を可能にする(炭素 12 と 13、ウラン 235 と 238 など)。「 $r \propto m$ だから、質量差の半分が半径差」という比の感覚が、装置の分解能を決める。 $m = \frac{q B ^{2} r ^{2}}{2 V}$ の各量を動かせば分解能を上げられる(強い磁場・大きい半径)——実験設計の指針になる。

答

(1) $q V = \frac{1}{2} m v^{2}$ と $r = \frac{m v}{q B}$ から $m = \frac{q B ^{2} r ^{2}}{2 V}$ (2) $m = \frac{1.6 \times 1 0 ^{- 19} \times 0.2 0 ^{2} \times ( 0.020 ) ^{2}}{2 \times 1000} \approx 1.3 \times 1 0^{- 25} kg$ (3) $r \propto m$ で質量 1 % 増→半径 0.5 % 増→検出位置 $2 r$ の差は $2 r \times 0.005 \approx 0.2 mm$

別解

微分(比の近似)で分解能を出すルート。 $r \propto m^{1/2}$ の対数微分で $\frac{Δ r}{r} = \frac{1}{2} \frac{Δ m}{m}$ ——「質量の相対変化の半分が半径の相対変化」。これは平方根比例の一般則で、単振り子( $T \propto L$ で長さ 1 % 増→周期 0.5 % 増)と全く同じ構造である。

「 $y \propto x^{n}$ なら相対変化は $n$ 倍」——この 1 行の道具を持っておくと、あらゆる比例関係の感度が即座に読める。

ポイント

m=qB²r²/(2V)
r∝√m(質量差の半分が半径差)
同位体分離・存在比測定の原理

よくある間違い

質量 1 % 差を半径 1 % 差とする
検出位置を r とする(2r)
v の消去でべきを誤る